szukanie zaawansowane
 [ Posty: 14 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna
PostNapisane: 24 lip 2018, o 19:54 
Użytkownik

Posty: 2340
Lokalizacja: Kraków
Niech 2-forma różniczkowa \omega zadana w \RR^3 będzie określona wzorem
\omega=(1+\sin x)dy \wedge dz+y\cos xdz \wedge dx.

Oblicz \int_{S}^{}\omega, gdzie
S=\left\{ (x,y,z) \in \RR^3:y^2+z^2<(1-\sin x)^2,0<x<\pi/4\right\}
mającego standardową orientację \RR^3.

Jak to zrobić? Co oznaczają te "koniunkcje"?
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2019
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 24 lip 2018, o 21:50 
Użytkownik

Posty: 4787
To nie koniunkcja tylko symbol iloczynu zewnętrznego .

Jak obliczamy całkę z dwuformy \omega ?

Jakie czynności musimy wykonać ?
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 25 lip 2018, o 12:16 
Użytkownik

Posty: 2340
Lokalizacja: Kraków
Niestety nie wiem. Potrzebuję więcej wyjaśnień.
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 25 lip 2018, o 22:08 
Użytkownik

Posty: 4787
\int_{(S, \tau) }\omega = \int_{ \phi(S)} \phi^{*}(\omega)
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 25 lip 2018, o 22:46 
Użytkownik

Posty: 2340
Lokalizacja: Kraków
Niestety nie rozumiem tego zapisu. Co to jest \phi^{*}(\omega)?
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 27 lip 2018, o 13:49 
Użytkownik

Posty: 4787
\phi - to parametryzacja obszaru S

\phi^{*}(\omega) - obcięcie formy do obszaru S realizowane za pomocą włożenia "pull back".
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 27 lip 2018, o 23:30 
Moderator
Avatar użytkownika

Posty: 8380
Lokalizacja: Wrocław
janusz47 napisał(a):
\int_{(S, \tau) }\omega = \int_{ \phi(S)} \phi^{*}(\omega)
Raczej:

\int \limits_S \omega = \int \limits_U \phi^*(\omega)

gdzie \phi : U \to S jest parametryzacją S, a \phi^*(\omega) oznacza cofnięcie formy \omega do U przez \phi.
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 28 lip 2018, o 11:17 
Użytkownik

Posty: 4787
Możemy zdefiniować całkę po obszarze S w uproszczonej sytuacji, gdy obszar S z orientacją \tau mieści się w dziedzinie jednej mapy - wtedy ten zapis jest poprawny.
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 28 lip 2018, o 12:12 
Moderator
Avatar użytkownika

Posty: 8380
Lokalizacja: Wrocław
janusz47 napisał(a):
wtedy ten zapis jest poprawny.
Który zapis? Jeśli masz na myśli ten:

janusz47 napisał(a):
\int_{(S, \tau) }\omega = \int_{ \phi(S)} \phi^{*}(\omega)
to jaka jest dziedzina i przeciwdziedzina \phi ?
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 28 lip 2018, o 15:36 
Użytkownik

Posty: 4787
\int_{(S, \tau) }\omega = \int_{ \phi^-1(S)} \phi^{*}(\omega).


\phi^{-1}(S) - dziedzina

S - przeciwdziedzina
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 28 lip 2018, o 16:44 
Moderator
Avatar użytkownika

Posty: 8380
Lokalizacja: Wrocław
janusz47 napisał(a):
\int_{(S, \tau) }\omega = \int_{ \phi^-1(S)} \phi^{*}(\omega).
Oznaczanie dziedziny funkcji \phi przez \phi^{-1}(S) jest moim zdaniem trochę dziwne, ale teraz równość jest prawdziwa (w przeciwieństwie do wcześniejszej wersji).
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 30 lip 2018, o 11:56 
Użytkownik

Posty: 2340
Lokalizacja: Kraków
No dobra, ale tak bardziej po ludzku. Mam ten obszar S sparametryzować? W jaki sposób? Dowolny? Po co ta parametryzacja w ogóle? Bez niej się nie da? No dobra niech będzie, że trzeba. No to parametryzuje tak: x=x,y=(1-\sin x)(\cos x),z=(1-\sin x)(\sin x) i co dalej z tym? Co to jest "pull back"-owanie?
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 1 sie 2018, o 19:21 
Moderator
Avatar użytkownika

Posty: 8380
Lokalizacja: Wrocław
max123321 napisał(a):
Mam ten obszar S sparametryzować? W jaki sposób? Dowolny?
Dowolny (oczywiście przez funkcje klasy \mathcal{C}^1), a najlepiej taki, żeby po dziedzinie było łatwo całkować, czyli w miarę prostokątny.

max123321 napisał(a):
Po co ta parametryzacja w ogóle?
Jeśli dany jest otwarty podzbiór U \subseteq \RR^n i n-forma \omega \in \Omega^n(U), to całkę

\int \limits_U \omega

można liczyć tak jak zwykłą całkę, ale można też sparametryzować, jeśli chcemy uprościć obszar całkowania. Jeśli natomiast mamy rozmaitość n-wymiarową M^n \subseteq \RR^m, gdzie n < m, i n-formę \omega \in \Omega^n(\RR^m), to nie ma wyboru - trzeba sparametryzować zbiorem otwartym U \subseteq \RR^n, bo taka jest definicja.

max123321 napisał(a):
No dobra niech będzie, że trzeba. No to parametryzuje tak: x=x,y=(1-\sin x)(\cos x),z=(1-\sin x)(\sin x) i co dalej z tym?
Do parametryzowania lepiej użyć innych zmiennych, żeby się nie myliły, np. s i t. Poza tym w obecnej postaci zadanie nie ma sensu, bo 2-formy nie można całkować po trójwymiarowej rozmaitości. Może zbiór miał być inny?

\left\{ (x, y, z) \in \RR^3 : y^2 + z^2 = (1 - \sin x)^2, 0 < x < \frac{\pi}{4} \right\}

max123321 napisał(a):
Co to jest "pull back"-owanie?
Przeciąganie formy.
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 1 sie 2018, o 22:20 
Użytkownik

Posty: 2340
Lokalizacja: Kraków
Dzięki Dasio, Ty to masz łeb.

Dasio11 napisał(a):
Jeśli dany jest otwarty podzbiór U \subseteq \RR^n i n-forma \omega \in \Omega^n(U), to całkę

\int \limits_U \omega

można liczyć tak jak zwykłą całkę, ale można też sparametryzować, jeśli chcemy uprościć obszar całkowania. Jeśli natomiast mamy rozmaitość n-wymiarową M^n \subseteq \RR^m, gdzie n < m, i n-formę \omega \in \Omega^n(\RR^m), to nie ma wyboru - trzeba sparametryzować zbiorem otwartym U \subseteq \RR^n, bo taka jest definicja.


Czyli w przypadku tego zadania to nie mamy wyboru, trzeba parametryzować tak? A możesz przytoczyć o jaką definicję chodzi?



Dasio11 napisał(a):
Do parametryzowania lepiej użyć innych zmiennych, żeby się nie myliły, np. s i t. Poza tym w obecnej postaci zadanie nie ma sensu, bo 2-formy nie można całkować po trójwymiarowej rozmaitości. Może zbiór miał być inny?

\left\{ (x, y, z) \in \RR^3 : y^2 + z^2 = (1 - \sin x)^2, 0 < x < \frac{\pi}{4} \right\}



Tak, tak oczywiście mój błąd, przepraszam. Zbiór jest taki jak napisałeś jedynie orientacja tego zbioru jest orientacją dziedziczoną brzegu obszaru S co ja napisałem na górze mającego standardową orientację \RR^3.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 14 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Zbadaj czy forma  max123321  12
 Forma różniczkowa - zadanie 3  cherryvis3  2
 Czy to zdanie jest prawdziwe? tensor, forma różniczkowa  hubble  7
 Czy forma może mieć wartość?  max123321  7
 Forma pierwotna  Hirakata  0
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl