szukanie zaawansowane
 [ Posty: 7 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna
PostNapisane: 24 cze 2018, o 15:58 
Użytkownik

Posty: 333
Witam,

próbuję wyznaczyć transformatę Fouriera funkcji impuls:

F( \delta (t - t_0)) =  \int_{- \infty }^{ \infty  }\delta (t - t_0)e^{-j\omega t}dt =?

Jak wyznaczyć całkę funkcji \delta (t - t_0)?

Dzieki za pomoc
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2019
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 27 cze 2018, o 18:44 
Użytkownik

Posty: 4743
Z definicji przekształcenia Fouriera:

F[\delta (t - t_0)] = \int_{- \infty }^{ \infty }\delta (t - t_0)e^{-j\omega t}dt (1)

Przypomnijmy jedną z własności całkowych (własność przesunięcia) funkcji \delta:

\int_{-\infty}^{\infty}f(t) \delta(t - t_{0})dt = f(t_{0}) (2)

Wykorzystując równanie (2) dla funkcji f(t) = e^{-j\omega t},

otrzymujemy wzór na transformatę Fouriera (1)

F[\delta (t - t_0)] = \int_{- \infty }^{ \infty }\delta (t - t_0)e^{-j\omega t}dt = e^{-j\omega 
 t_{0}}.
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 30 cze 2018, o 17:57 
Użytkownik

Posty: 333
janusz47 napisał(a):
Przypomnijmy jedną z własności całkowych (własność przesunięcia) funkcji \delta:

\int_{-\infty}^{\infty}f(t) \delta(t - t_{0})dt = f(t_{0}) (2)


No i tego mi brakowało, natomiast pojawia się pytania - jak udowodnić słuszność powyższego równania?
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 30 cze 2018, o 19:24 
Użytkownik

Posty: 4743
\int_{-\infty}^{\infty}f(t) \delta(t - t_{0})dt = f(t_{0})

Dowód:

Z definicji \delta - funkcji:

\int_{-\infty}^{\infty}f(t)\delta(t- t_{0})dt =\int_{-\infty}^{\infty}f(t_{0})\delta(t - t_{0})dt= f(t_{0})\int_{-\infty}^{\infty}\delta(t- t_{0})dt = f(t_{0})\cdot 1 = \\ =f(t_{0}).

c.n.d.
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 1 lip 2018, o 18:50 
Użytkownik

Posty: 333
Generalnie to mocno naciągany wydaje mi się ten dowód :)
Wydaje mi się też, iż zakładamy sobie (ze względu na to iż delta diraca jest 0 wszedzie poza punktem 0), że funkcja ta "filtruje każdą" przez nią pomnożoną tak, że tylko w punkcie 0 ma ona swoją wartość.

Na szczególną uwagę zasługuje to równanie:
janusz47 napisał(a):
\int_{-\infty}^{\infty}\delta(t- t_{0})dt = 1


W jaki sposób ta całka wynosi 1? Dla mnie to bez sensu trochę :roll:

PS: co oznacza c.n.d.?
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 1 lip 2018, o 19:12 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 2143
Lokalizacja: hrubielowo
Nie wszystkie rzeczy można udowodniać. Definicje są często postulatami o własnościach dla nas "wygodnych" i część rzeczy jest po prosty prawdziwa z definicji. Mam na myśli

\int_{- \infty }^{ \infty }\delta (x) \  \mbox{d}x =1

Ta równość jest częścią definicji (nieformalnej ale często propagowanej szczególnie na uczelniach technicznych) Delty Diraca. Dokładniejszych wyjaśnień a właściwie bardziej formalnych przynosi teoria dystrybucji i definicja.

c.n.d to skrót od "co należało dowieść".
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 2 lip 2018, o 08:54 
Użytkownik

Posty: 4743
Skrót c.n.d. oznacza co należało dowieść.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 7 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 transformata fouriera - zadanie 29  xaxoxa14  1
 transformata Fouriera - zadanie 31  woseba  2
 Transformata Fouriera - zadanie 36  fluffiq  2
 transformata fouriera - zadanie 27  xaxoxa14  1
 transformata Fouriera - zadanie 22  lucy718  3
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl