szukanie zaawansowane
 [ Posty: 7 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna
PostNapisane: 24 cze 2018, o 12:17 
Użytkownik

Posty: 145
\frac{x}{ \mbox{d}x } = Ax,


A = \left[ \begin{array}{cc}0 & 1\\ -1 & 0\end{array}\right]

Mógłby mi ktoś napisać jak się zabrać za to zadanie? Wiem, że jest to układ równań różniczkowych zapisany w postaci macierzowej ale nie mam pojęcia jak to mam rozpisać. Pomoże ktoś?
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2019
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 24 cze 2018, o 12:26 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 7057
\begin{cases} x_1'=x_2 \\ x_2'=-x_1 \end{cases}
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 24 cze 2018, o 12:28 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 2173
Lokalizacja: hrubielowo
Po stronie lewej jest wektor pochodnych zapisany w dziwny niepoprawny sposób który można przedstawić jako \left[ y',x'\right] a po stronie prawej masz iloczyn macierzy i wektora szukanych funkcji powiedzmy \left[ y,x\right]. Można to zapisać jako układ równań, po wykonaniu mnożenia mamy:

\begin{cases} y'=x \\ x'=-y  \end{cases}

gdzie x,y to funkcje zmiennej t. Po zróżniczkowaniu pierwszego równania i wstawianiu do drugiego mamy

y''=-y

co daje się rozwiązać standardowymi metodami dla równań drugiego rzędu ze stałymi współczynnikami

y=C_1\sin t+C_2\cos t

a ponieważ x=y' to

x=\left(C_1\sin t+C_2\cos t \right)'
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 24 cze 2018, o 12:37 
Użytkownik

Posty: 1094
Lokalizacja: Górnicza Dolina
Macierz A mamy w postaci Jordana.
Rozwiązaniem układu jest x=e^{At} \cdot c \Rightarrow x= \begin{bmatrix} \cos t & \sin t \\- \sin t& \cos t \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} c_1\\c_2\end{bmatrix}
x_1=c_1 \cdot \cos t +c_2 \cdot \sin t

x_2=-c_1 \cdot \sin t + c_2 \cdot \cos t
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 24 cze 2018, o 13:02 
Użytkownik

Posty: 145
Czyli po lewej i prawej stronie mam wektory, tak?
Po lewej stronie: x' - wektor
Po prawej stronie: A - macierz, x - wektor

Wektor po lewej stronie zapisuję sobie najlepiej jako [ x'_{1}, x'_{2} ], a wektor po prawej jako: [ x_{1}, x_{2} ] i rozwiązuję tymi metodami dla równań drugiego rzędu ze stałymi współczynnikami, tak? A gdy mam coś takiego tylko z macierzą _{3x3} to robię analogicznie do tego powyżej?
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 24 cze 2018, o 13:10 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 2173
Lokalizacja: hrubielowo
Cytuj:
Czyli po lewej i prawej stronie mam wektory, tak?
Po lewej stronie: x' - wektor
Po prawej stronie: A - macierz, x - wektor

Tak. Możesz zapisać x_1,x_2,x_3 albo x,y,z to nie ma znaczenia. Co do samych metod rozwiązywania to jest ich sporo ja wybrałem metodę która sprowadziła układ równań pierwszego stopnia do równania stopnia drugiego, Benny01 wybrał inną metodę a można było jeszcze inaczej za pomocą transformaty Laplace’a. Jeśli masz układ 3  \times 3 to też można stosować takie metody.
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 24 cze 2018, o 14:39 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 7057
paweto napisał(a):
Czyli po lewej i prawej stronie mam wektory, tak?
Po lewej stronie: x' - wektor
Po prawej stronie: A - macierz, x - wektor
Tak, masz macierz niewiadomych (po prawej) i macierz pochodnych po tych niewiadomych (po lewej stronie)

paweto napisał(a):
Wektor po lewej stronie zapisuję sobie najlepiej jako [ x'_{1}, x'_{2} ], a wektor po prawej jako: [ x_{1}, x_{2} ]
Raczej:
\begin{bmatrix} x_1'\\x_2'\end{bmatrix} \ \ lub \ \ \begin{bmatrix}  \frac{ \mbox{d}x_1 }{ \mbox{d}x } \\ \frac{ \mbox{d}x_2 }{ \mbox{d}x}\end{bmatrix} \ \ oraz \ \ \begin{bmatrix} x_1\\x_2\end{bmatrix}
Zauważ że, o ile nie pomyliłeś się przy przepisywaniu, to x_1=f(x) \wedge x_2=g(x)

paweto napisał(a):
i rozwiązuję tymi metodami dla równań drugiego rzędu ze stałymi współczynnikami, tak?
Stosujesz metodę którą narzuca treść zadania lub rozwiązujesz dowolną znaną Ci metodą.

paweto napisał(a):
A gdy mam coś takiego tylko z macierzą _{3x3} to robię analogicznie do tego powyżej?
Tak.

-- 24 cze 2018, o 15:34 --

Ech, przegapiłem odpowiedź Janusza Tracza. Sorry.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 7 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Równanie różniczkowe  Anonymous  6
 Równanie różniczkowe - zadanie 10  niebieski  0
 równanie różniczkowe - zadanie 30  michalk  1
 równanie rozniczkowe - zadanie 2  piterr1910  3
 Równanie rózniczkowe - zadanie 7  magbar  3
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl