szukanie zaawansowane
 [ Posty: 2 ] 
Autor Wiadomość
Kobieta
PostNapisane: 20 cze 2018, o 15:16 
Użytkownik

Posty: 17
Lokalizacja: Opole
Dla podanej liczby zespolonej z=1+\frac{ \sqrt{3}}{2}- \frac{i}{2} podać najmniejszą liczbę całkowitą dodatnią n taką, że z^{n} jest liczbą rzeczywistą dodatnią.
Jak się za to zabrać? Myślałam o wzorze de Moivre'a, ale nie umiem wynaczyć agrumentu dla tej liczby.
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2019
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 20 cze 2018, o 16:17 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 13986
Lokalizacja: Wrocław
Mamy
\frac{ \sqrt{3}}{2}- \frac{i}{2}=\cos\left( -\frac\pi 6\right)+i\sin\left( -\frac \pi 6\right)
oraz
1=\cos 0+i\sin 0, więc ze wzorów na sumę sinusów i sumę cosinusów otrzymujemy:
1+\frac{ \sqrt{3}}{2}- \frac{i}{2}=\\=2\cos\left( -\frac{\pi}{12}\right)\cos\left( \frac{\pi}{12}\right)  +i\cdot 2\sin \left( -\frac{\pi}{12}\right) \cos\left( \frac {\pi}{12}\right)=\\=2\cos\left( \frac{\pi}{12}\right) \cdot \left( \cos\left( -\frac{\pi}{12}\right) +i\sin\left( -\frac{\pi}{12}\right)\right)
Stąd i ze wzoru de Moivre'a już nietrudno wywnioskować, że odpowiedzią w zadaniu jest n=24. Musimy bowiem mieć
\sin\left( -\frac{\pi n}{12}\right) =0, co zachodzi dla n=12k, \ k \in \ZZ,
przy czym najmniejszym n całkowitym dodatnim, które spełnia ten warunek, jest n=12. Musi też być
\cos\left( -\frac{n\pi}{12}\right) >0, a dla n=12k, \ k\in \ZZ jest
\cos\left( -\frac{n\pi}{12}\right) =\cos(-k\pi)=(-1)^k.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 2 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 potęga liczby zespolonej - zadanie 17  zagazaga  1
 Potęga liczby zespolonej - zadanie 18  Anonymous  2
 Potęga liczby zespolonej  fantek  9
 Potega liczby zespolonej  Tomo20  2
 Potęga liczby zespolonej - zadanie 2  leon600  10
cron
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl