szukanie zaawansowane
 [ Posty: 6 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna
PostNapisane: 17 cze 2018, o 13:07 
Użytkownik

Posty: 339
Witam,

czytając książkę do elektrotechniki natknąłem się na przekształcenie funkcji cos w funkcję wykładniczą korzystając przy tym z wzoru Eulera. Wygląda to tak:

cos(n  \omega_0  t) =  \frac{1}{2}[e^{jn\omega_0t}+e^{-jn\omega_0t}]

Skąd \frac{1}{2} i dlaczego aż dwa składniki z e?
Moje obliczenia:
e^{n  \omega_0  t} = cos(n  \omega_0  t) + jsin(n  \omega_0  t)
to
cos(n  \omega_0  t) = e^{n  \omega_0  t} -  jsin(n  \omega_0  t)

dlaczego wynik jednak jest inny?
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2019
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 17 cze 2018, o 13:13 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 13931
Lokalizacja: Wrocław
A wiesz, że dodawanie to nie to samo, co mnożenie? Bez urazy, ale napisałeś coś takiego:
a=b+c, więc b=\frac a c (oczywiście tutaj b to \cos(n\omega_0 t)).

-- 17 cze 2018, o 12:17 --

A ten wzorek można wyprowadzić tak:
e^{n \omega_0 t} = cos(n \omega_0 t) + jsin(n \omega_0 t)
\\e^{-n \omega_0 t} = cos(-n \omega_0 t) + jsin(-n \omega_0 t)
Dodajemy stronami te dwie równości, zauważamy, że \cos(-n\omega_0t)=\cos(n\omega_0t) a także \sin(-n\omega_0t)=-\sin(n\omega_0t),
dzielimy stronami przez 2 i koniec.
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 17 cze 2018, o 13:38 
Użytkownik

Posty: 339
Premislav napisał(a):
A wiesz, że dodawanie to nie to samo, co mnożenie? Bez urazy, ale napisałeś coś takiego:
a=b+c, więc b=\frac a c (oczywiście tutaj b to \cos(n\omega_0 t)).


Ohh za dużo rzeczy liczyłem w tym samym momencie... już poprawione:)

-- 17 cze 2018, o 12:17 --
Premislav napisał(a):
A ten wzorek można wyprowadzić tak:
e^{n \omega_0 t} = cos(n \omega_0 t) + jsin(n \omega_0 t)
\\e^{-n \omega_0 t} = cos(-n \omega_0 t) + jsin(-n \omega_0 t)
Dodajemy stronami te dwie równości, zauważamy, że \cos(-n\omega_0t)=\cos(n\omega_0t) a także \sin(-n\omega_0t)=-\sin(n\omega_0t),
dzielimy stronami przez 2 i koniec.


Hmm nie widzę tego wyprowadzenia.
Po pierwsze e^{-n \omega_0 t} = cos(n \omega_0 t) - jsin(n \omega_0 t)
a nie tak jak ty zapisałeś:
e^{-n \omega_0 t} = cos(-n \omega_0 t) + jsin(-n \omega_0 t)

po drugie dlaczego uwżasz, że \cos(-n\omega_0t)=\cos(n\omega_0t)?

Dzięki
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 17 cze 2018, o 13:47 
Użytkownik

Posty: 1094
Lokalizacja: Górnicza Dolina
Mondo napisał(a):
po drugie dlaczego uwżasz, że \cos(-n\omega_0t)=\cos(n\omega_0t)?

Dzięki


Słyszałeś o parzystości funkcji cosinus?
Oczywiście u Premislava brakuje jednostki urojonej w wykładniku eksponenty, ale to szczegół.
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 17 cze 2018, o 13:58 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 13931
Lokalizacja: Wrocław
Tak, racja, sorry, za dużo literek się zrobiło, jak ich jest więcej niż trzy obok siebie, to już mój mózg nie wyrabia. Oznaczmy n\omega_0 t=a, wtedy
e^{ja}=\cos a+j\sin a\\e^{-ja}=\cos(-a)+j\sin(-a)
(obie równości wynikają ze wzoru Eulera),
zatem po dodaniu tego stronami mamy
e^{ja}+e^{-ja}=\cos a+j\sin a+\cos(-a)+j\sin(-a)
i teraz dzięki nieparzystości sinusa oraz parzystości cosinusa dostajemy
e^{ja}+e^{-ja}=\cos a+j\sin a+\cos(a)+-j\sin(a), skracamy,
dzielimy stronami przez 2 i mamy
\cos a=\frac{e^{ja}+e^{-ja}}{2}

Tak samo wyprowadza się wzór na sinus, tylko że wtedy się odejmuje stronami zamiast dodawać.
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 17 cze 2018, o 15:39 
Użytkownik

Posty: 339
Dzięki! Faktycznie tą metodą można dojść do wyniku. Pytanie tylko dlaczego autor zapisał to w taki sposób a nie po prostu jako:
e^{ja} = cos(a) + jsin(a)
stąd:
cos(a) = e^{ja} - jsin(a)

-- 2 lip 2018, o 01:02 --

Premislav napisał(a):
Tak samo wyprowadza się wzór na sinus, tylko że wtedy się odejmuje stronami zamiast dodawać.


I jeszcze takie pytanie dlaczego i jak wpadłeś tutaj na dodawanie stronami, a w przypadku sinusa akurat ma być odejmowanie?
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 6 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Suma róznicy cosinusa i sinusa  Matiks21  3
 Wyznaczenie wzoru funkcji wykładniczej  surtyr  2
 dowód na potęgę cosinusa w postaci trygonometrycznej  kelezor  1
 Wyrazić arc sin przez arc tg  sin2x  0
 Przekształcenie funkcji wykładniczej  piwlak  7
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl