szukanie zaawansowane
 [ Posty: 7 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna
PostNapisane: 16 cze 2018, o 16:47 
Użytkownik

Posty: 51
Lokalizacja: Wawa
Cześć,
mam problem ze zrozumiem rozwiązania zadania: Metoda charakterystyk rozwiąż równanie różniczkowe:
\frac{ \partial ^{2} u }{ \partial x ^{2} }-2 \frac{ \partial ^{2}u }{ \partial x \partial y}=0, dla (x,y) \in D=\RR ^{2}
\begin{cases} u(0,y)=0\\ \frac{ \partial u}{ \partial x}(0,y)=4y \end{cases}, dla y \in \RR

1. Wyznaczam deltę = 0 - typ paraboliczny
2. Podstawiam współczynniki do wzoru A(x,y)(dy) ^{2}-B(x,y)dydx+C(x,y)dx ^{2}=0, wynikiem jest dy=dx
3. \int dy=\int dx
y=x+C
\begin{cases} C=y-x\\ D=x\end{cases} - za drugie rozwiązanie przyjmuję x
4. Przyjmuję przekształcenie
\xi (x,y)=y-x
\eta (x,y)=x
5. Liczę pochodne cząstkowe.
\frac{ \partial \xi}{ \partial x}=-1 , \frac{ \partial \eta}{ \partial x}=1 , \frac{ \partial \xi}{ \partial y}=1 , \frac{ \partial \eta}{ \partial y}= 0
Pochodne drugiego rzędy = 0.
6. Podstawiam do wzorów i liczę:
\frac{ \partial ^{2}u }{ \partial x ^{2} } , \frac{ \partial ^{2}u }{ \partial x \partial y } , \frac{ \partial ^{2}u }{ \partial y ^{2} }
i podstawiam do równania:
\frac{ \partial ^{2}u }{ \partial x ^{2} }-2 \frac{ \partial ^{2}u }{ \partial x \partial y}=0
wynikiem jest: \frac{ \partial ^{2}\hat{u} }{ \partial \eta^{2} }=0
7. Dalej mam doprowadzić do rozwiązania ogólnego
\int \frac{ \partial }{ \partial \eta} \frac{ \partial \hat{u}}{ \partial \eta} \partial \eta=\int0d \eta
i skąd dalej bierze się: (dlaczego wynikiem jest F i G? i dlaczego wynikiem drugiej całki jest ich suma?
\int \frac{ \partial \hat{u}}{ \partial \eta} \partial \eta=\int F(\xi) \partial \eta
\hat{u}=F(\xi)+G(\eta)??
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2019
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 16 cze 2018, o 19:20 
Użytkownik

Posty: 1017
Moim zdaniem wynik jest inny.

Masz:

\frac{\partial}{\partial \eta}\frac{ \partial\hat{u}(\eta,\xi)  }{ \partial \eta }=0.


Całkuję najpierw jednostronnie po \eta. Co istotne, \xi jest w tym momencie stałą. Mam zatem:

\frac{ \partial\hat{u}(\eta,\xi) }{ \partial \eta}  =F(\xi).


I jest to prawda, bowiem rózniczkując obustronnie po \eta mamy po prawej stronie zero, gdyż F(\xi) nie zależmy od \eta zatem pochodna po \eta to zero.

I znów różniczkujemy po \eta.

\int \frac{ \partial\hat{u}(\eta,\xi)  }{ \partial \eta}  \ \mbox{d}\eta=\int F(\xi) \ \mbox{d}\eta.


Znów F(\xi) to stała, gdyż całkujemy po \eta.

\hat{u}(\eta,\xi) = F(\xi) \eta + G(\xi)


Funkcja ta spełnia wejściowe równanie różniczkowe. Dwukrotnie różniczkując po \eta otrzymujemy zero.
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 16 cze 2018, o 21:15 
Użytkownik

Posty: 51
Lokalizacja: Wawa
Dziękuję.
Następnie mam:
u(x,y)=\hat{u}(y-x,x)
u=F(y-x)+G(x)
To rozwiązanie ogólne.
uwzględniając W.B., następnym krokiem jest policzenie pochodnej równania ogólnego, które ma postać
u=F(y-x)+G(x)
\frac{ \partial u}{ \partial y} =F(y-x)+F'(y-x)+G(x)=0 dlaczego? to jest następnie podstawione do W.B.
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 17 cze 2018, o 11:45 
Użytkownik

Posty: 1017
Nie podstawiasz przypadkiem źle \eta, \xi?
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 17 cze 2018, o 12:14 
Użytkownik

Posty: 51
Lokalizacja: Wawa
Możliwe... Tak mam rozwiązane, ale od tego momentu nie wiem co z czego wynika. Wiem już natomiast, że to co napisałeś w poście wyżej, jest poprawnie. Jak powinno być poprawnie?
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 17 cze 2018, o 21:10 
Użytkownik

Posty: 1017
Na pewno do 6 punktu masz dobrze, bo nie sprowadzałem?
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 17 cze 2018, o 21:13 
Użytkownik

Posty: 51
Lokalizacja: Wawa
Tak
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 7 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Równanie różniczkowe - Metoda charakterystyk  kamil_89  2
 Równanie różniczkowe  Anonymous  6
 Równanie Hamiltona-Jacobiego  Pikaczu  0
 rownanie linii lancuchowej  bisz  1
 Równanie różniczkowe - zadanie 10  niebieski  0
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl