szukanie zaawansowane
 [ Posty: 6 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna
PostNapisane: 15 cze 2018, o 13:57 
Użytkownik

Posty: 4
Lokalizacja: Wrocław
Punkty z_1  \neq  z_2 leżą we wnętrzu prostokąta P o bokach równoległych do osi
współrzędnych, a \Gamma jest brzegiem tego prostokąta o parametryzacji odwrotnej
do ruchu wskazówek zegara. Prostokąt jest podzbiorem zbioru otwartego G,
a F : G  \rightarrow  \mathbb{C} jest funkcją mającą pochodną w każdym punkcie zbioru G.
Korzystając ze wzoru i twierdzenia Cauchy’ego, obliczyć (w zależności of F(z_1)
i F(z_2)):

\int_{\Gamma}  \frac{F(z)}{(z-z_1)(z-z_2)} dz


Pomysł jest taki aby podzielić prostokąt na dwa prostokąty P_1 i P_2 o brzegach \Gamma_1 i \Gamma_2 zorientowanych odwrotnie do ruchu wskazówek zegara, zawierające odpowiednio punkty z_1 i z_2. Oraz dwie funkcje a(z) =  \frac{F(z)}{z - z_2} i b(z) =  \frac{F(z)}{z - z_1}, które będą różniczkowalne odpowiednio na pierwszym i drugim prostokącie po podziale.

Wtedy nasza pierwotna całka jest równa:

\int_{\Gamma_1}  \frac{F(z)}{(z-z_1)(z-z_2)} dz + \int_{\Gamma_2}  \frac{F(z)}{(z-z_1)(z-z_2)} dz = \int_{\Gamma_1}  \frac{a(z)}{(z-z_1)} dz + \int_{\Gamma_2}  \frac{b(z)}{(z-z_2)} dz

Co ze wzoru Cauchy'ego daje:

2 \pi i (a(z_1) + b(z_2) = 2 \pi i  \frac{F(z_1) - F(z_2)}{z_1 - z_2}

Moje pytanie brzmi: czy to rozumowanie jest poprawne?
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2019
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 16 cze 2018, o 09:07 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 13931
Lokalizacja: Wrocław
Wynik OK, tylko że…
Tak właściwie to jest prawie że skorzystanie z twierdzenia o residuach (tylko przy skorzystaniu z niego tak naprawdę nie musimy niczego dzielić, za to jak pamiętam, dzieli się na kawałki przy jego dowodzie), tak na siłę, to jak chcemy korzystać właśnie z twierdzenia podstawowego Cauchy'ego i ze wzoru całkowego Cauchy'ego (a nie jego uogólnień), to powinniśmy podzielić ten prostokąt na dwa rozłączne kółka o dodatnio zorientowanych brzegach, o środkach z_1, \ z_2, po których całki liczymy ze wzoru Cauchy'ego i jakieś kawałki, po których całka będzie wynosić zero na mocy podstawowego twierdzenia Cauchy'ego.
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 16 cze 2018, o 10:40 
Użytkownik

Posty: 4
Lokalizacja: Wrocław
Czyli całka z zadania będzie równa sumie dwóch całek po obrzeżach tych okręgów i całce po "kawałkach", która z tw. Cauchy'ego równa będzie 0. Ale te kawałki to po prostu zbiór G bez tych kół? I wtedy funkcja \frac{F(z)}{(z-z_1)(z-z_2)} na tych kawałkach jest holomorficzna i całka się zeruje? Dobrze rozumiem?
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 16 cze 2018, o 12:31 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 13931
Lokalizacja: Wrocław
No niezupełnie, należy tak to podzielić (i taką orientację wprowadzić), aby się znosiły całki po poszczególnych kawałkach wewnątrz (np. fragmentach okręgu – a będą się znosić przez przeciwną orientację). Nie jest to trudne do zrobienia.
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 16 cze 2018, o 13:21 
Użytkownik

Posty: 4
Lokalizacja: Wrocław
Czyli powiedzmy taki podział. I wtedy zakładając, że prostokąt, kółka i te kawałki mają dodatnią orientację, możemy zrobić sumę całek. Dla kółek zastosować wzór Cauchy'ego (dla tych funkcji a(z) i b(z)), a dla kawałków twierdzenie Cauchy'ego i dostaniemy ten wynik z mojego pierwszego posta. Teraz jest ok?

Obrazek
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 16 cze 2018, o 13:26 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 13931
Lokalizacja: Wrocław
Tak, bardzo dobrze, właśnie o coś takiego chodziło.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 6 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 wzory całkowe Cauchy'ego  szaki9  2
 równanie Cauchy’ego-Riemanna  balbina1991  3
 Wzór całkowy Cauchyego - spr  justdzo  2
 Wzór całkowy Cauchy'ego - rozłożenie na mniejsze okręgi  musialmi  2
 dowod, calkowy wzor Cauchyego  Jacek_fizyk  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl