szukanie zaawansowane
 [ Posty: 2 ] 
Autor Wiadomość
Kobieta
PostNapisane: 5 cze 2018, o 18:13 
Użytkownik

Posty: 2
Lokalizacja: kraków
1.Równania różniczkowe liniowe drugiego rzędu z warunkiem początkowym y(0) = 1 , y'(0)=0.
Wyznaczyć rozwiązanie równania, spełniające ten warunek.
y''+2y'-8y=2e^{-2x} - e^{-x}

2. Funkcje y_1 =x i y_2 = x \ln x tworzą układem fundamentalnym równania jednorodnego x^{2}y'' -xy' +y = 0 w przedziale ( 0,+ \infty ).
Wyznaczyć ogólne rozwiązanie niejednorodnego x^{2}y'' -xy' +y = 4x \ln x.

Próbowałam znaleźć pomoc, jednak nie jestem najlepsza w tej dziedzinie matematyki. Nie potrafie rozwiązać tych zadań w oparciu o podobne zadania tego typu, większość osób tłumaczy to w taki sposób, jakbym robiła je od urodzenia. Kolokwialnie rzecz ujmując, chciałabym zapytać o pomoc w rozwiązaniu zadań " Jak krowie na rowie". Serdecznie dziękuje, pozdrawiam.
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2019
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 5 cze 2018, o 21:18 
Użytkownik

Posty: 4743
Zadanie 1

y'' +2y' -8y = 2e^{-2x} - e^{-x}, \ \  y(0) = 1, \ \ y'(0) = 0 (C)

Rozwiązanie ogólne y_{o} równania jednorodnego

y'' +2y' - 8y = 0.

Równanie charakterystyczne

\lambda^2 +2\lambda - 8 = 0

\lambda_{1}= -4, \ \ \lambda_{2}= 2.

y_{o} = C_{1}e^{-4x} + C_{2}e^{2x}.

Rozwiązanie szczególney_{s} równania niejednorodnego będzie sumą rozwiązań szczególnych równań:

a)\ y'' +2y' +8y = 2e^{-2x}, \ \ b)\  y'' +2y' +8y = -e^{-x}

Z twierdzenia o rozwiązaniach równania liniowego drugiego rzędu - rozwiązanie szczególne równania a) jest postaci a e^{-2x} równania b) be^{-x}

Muszą więc zachodzić równości:

4ae^{-2x} - 4ae^{-2x} +8ae^{-2x} = 2e^{-2x}, \ \  be^{-x}-2be^{-x}+8be^{-x}= -e^{-x}.

stąd

8a = 2e^{-2x}, \ \ 7be^{-x} = -e^{-x},

a = \frac{1}{4}, \ \ b=- \frac{1}{7}.

Rozwiązania szczególne równania y_{s} = \frac{1}{4}e^{-2x} - \frac{1}{7}e^{-x}.


Rozwiązanie ogólne równania niejednorodnego:

y = y_{o} + y_{s} = C_{1}e^{-4x}+C_{2}e^{2x} + \frac{1}{4}e^{-2x} -\frac{1}{7}e^{-x} (1)

Uwzględniamy warunki początkowe :

\begin{cases} C_{1}+ C_{2}+ \frac{1}{4}-\frac{1}{7}= 1\\ -4C_{1}+2C_{2}-\frac{1}{2}+\frac{1}{7} = 0 \end{cases}

Rozwiązując ten układ równań, otrzymujemy:

C_{1}= \frac{20}{84},  \ \ C_{2} = \frac{55}{84} (proszę sprawdzić).


Rozwiązaniem problemu Cauchy (C) jest funkcja

y_{C} = \frac{20}{84}e^{-4x} +\frac{55}{84}e^{2x}+\frac{1}{4}e^{-2x} -\frac{1}{7}e^{-x}.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 2 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Równanie różniczkowe  Anonymous  6
 Równanie Hamiltona-Jacobiego  Pikaczu  0
 rownanie linii lancuchowej  bisz  1
 Równanie różniczkowe - zadanie 10  niebieski  0
 równanie różniczkowe Clairauta - zadanie 2  qaz  4
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl