szukanie zaawansowane
 [ Posty: 7 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna
PostNapisane: 5 cze 2018, o 14:08 
Użytkownik

Posty: 21
Lokalizacja: Kcynia
Witam, jak rozwiązać poniższe zadanie różniczkowe?
y' =xe^{y}
Kompletnie nie wiem jak się do tego zabrać, nic mi nie przychodzi do głowy. Jedynie miałem pomysł aby podzielić całość przez e^{y}. Tylko czy to w ogóle by było dobrze?
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2019
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 5 cze 2018, o 14:20 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 13931
Lokalizacja: Wrocław
Cytuj:
Kompletnie nie wiem jak się do tego zabrać, nic mi nie przychodzi do głowy. Jedynie miałem pomysł aby podzielić całość przez e^{y}. Tylko czy to w ogóle by było dobrze?

Jak najbardziej. To właśnie należy zrobić. Po scałkowaniu to daje Ci:
\int_{}^{} e^{-y}\,\dd y= \int_{}^{} x\,\dd x
czyli
-e^{-y}=\frac{x^2}{2}+C
a stąd
y=-\ln\left| -\frac{x^2}{2}-C\right|
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 5 cze 2018, o 14:26 
Użytkownik

Posty: 21
Lokalizacja: Kcynia
Ok, dziękuję, a co zrobić z takim równaniem :
y' + \frac{y}{x}  = 1 +  \frac{2}{x}
Myślałem aby lewą stronę przyrównać do zera i przenieść \frac{y}{x}na prawą stornę, później podzielić przez y, dałoby mi to
\frac{y'}{y} = - \frac{1}{x} .
Z tego wyliczyć całkę, ale co dalej?
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 5 cze 2018, o 14:40 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 13931
Lokalizacja: Wrocław
Cytuj:
Myślałem aby lewą stronę przyrównać do zera

A to na jakiej podstawie?

Zacząłbym od pomnożenia przez x, co daje:
xy'+y=x+2
i teraz zauważ, że po lewej stronie masz pochodną iloczynu:
(xy)'
Po scałkowaniu:
xy=\frac{x^2}{2}+2x+C\\ y=\frac x 2+2+\frac{C}{x}
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 5 cze 2018, o 14:48 
Użytkownik

Posty: 21
Lokalizacja: Kcynia
Premislav napisał(a):
Cytuj:
Myślałem aby lewą stronę przyrównać do zera

A to na jakiej podstawie?

Myślałem aby to zrobić metodą uzmienniania stałej, stąd pomysł na przyrównanie do 0.
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 5 cze 2018, o 14:55 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 13931
Lokalizacja: Wrocław
A w sumie można, zapomniałem o tej metodzie.
Rozwiązanie jednorodnego jest postaci y_j=\frac{C}{x},
potem metodą uzmienniania stałej dostajemy
\frac{C'(x)}{x}-\frac{C(x)}{x^2}+ \frac{C(x)}{x^2} =1+\frac 2 x
czyli C'(x)=x+2
a więc
C(x)=\frac{x^2}{2}+2x+D
i
y=\frac{C(x)}{x}=\frac x 2+2+\frac D x
użyłem oznaczenia D na stałą, aby nie popadać w konflikt oznaczeń.
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 5 cze 2018, o 14:58 
Użytkownik

Posty: 21
Lokalizacja: Kcynia
Czyli jednak dobrze myślałem, dziękuję! :)
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 7 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Rozwiąż równanie różniczkowe - zadanie 2  Darekstalowka  1
 rozwiąż równanie rożniczkowe  blableblubla  1
 Rozwiaz rownanie rozniczkowe  chrisdk  1
 rozwiaż rownanie różniczkowe  przemol87  3
 rozwiaż równanie różniczkowe  kropka.  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl