szukanie zaawansowane
 [ Posty: 4 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna
PostNapisane: 5 cze 2018, o 12:33 
Użytkownik

Posty: 10
Lokalizacja: Gdynia
Czy mógłby mi ktoś pomóc rozwiązać to równanie różniczkowe?
y' -  \frac{2y}{x+1} = (x+1) ^{3}; 
y(0) =  \frac{1}{2}
Wiem, że trzeba wyzerować prawą stronę i wychodzi:
y = 2x +  c_{1}
ale co potem? :/
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2019
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 5 cze 2018, o 12:44 
Użytkownik

Posty: 450
Lokalizacja: Kraków
y=C \cdot e^{ \int \frac{2}{x+1}dx} = C \cdot e^{2\ln \left( x+1 \right) } = C \cdot e^{\ln \left( x+1 \right) ^2} = C \cdot \left( x+1 \right) ^2
i teraz uzmiennij stałą.

-- 5 cze 2018, o 11:53 --

A jeśli nie znasz tego wzoru, to:

\frac{ \mbox{d}y }{ \mbox{d}x }= \frac{2}{x+1} \\
 \frac{ \mbox{d}y }{2y}= \frac{ \mbox{d}x }{x+1} \\
 \ln y=2\ln \left( x+1 \right) + C_1 \\
 \ln y=\ln \left( x+1 \right) ^2 + C_1\\ 
 y=C \cdot \left( x+1 \right) ^2

Ostateczny wynik: y= \left( \frac{1}{2}x^2+x+ \frac{1}{2} \right) \cdot \left( x+1 \right) ^2
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 10 cze 2018, o 12:55 
Użytkownik

Posty: 10
Lokalizacja: Gdynia
A w jaki sposób znalazłeś
y= \left( \frac{1}{2}x^2+x+ \frac{1}{2} \right) \cdot \left( x+1 \right) ^2
y =  C \cdot \left( x+1 \right) ^2
Skoro:
y' = 2c\left(x+1\right) + c'\left(x+1\right) ^{2}
2c\left(x+1\right) + c'\left(x+1\right) ^{2}  -  \frac{2C \cdot \left( x+1 \right) ^2}{x+1} = \left(x+1 \right) ^{3}
c' = \left( x+1\right) ^{2}
PS. tak nie ogarniam tego typu równań.
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 10 cze 2018, o 12:59 
Użytkownik

Posty: 1092
Lokalizacja: Górnicza Dolina
c'=x+1
Całkując to równanie dostajemy, że
c= \frac{x^2}{2}+x+K
y=\left( \frac{x^2}{2}+x+K\right) \cdot \left( x+1\right)^2
Podstawiając warunek początkowy dostajemy:
\frac{1}{2}=K
Ostatecznie:
y=\left( \frac{x^2}{2}+x+\frac{1}{2} \right) \cdot \left( x+1\right)^2
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 4 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Rozwiąż równanie różniczkowe - zadanie 2  Darekstalowka  1
 rozwiąż równanie rożniczkowe  blableblubla  1
 Rozwiaz rownanie rozniczkowe  chrisdk  1
 rozwiaż rownanie różniczkowe  przemol87  3
 rozwiaż równanie różniczkowe  kropka.  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl