szukanie zaawansowane
 [ Posty: 5 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna
PostNapisane: 3 cze 2018, o 13:56 
Użytkownik

Posty: 36
W zadaniu potrzebuję obliczyć całkę nieoznaczoną \int_{}^{} x^2  \sqrt{9-x^2} dx. Wygląda mi to na całkę w której mogę użyć podstawienia Eulera dla a<0 czyli \sqrt{ax^2+bx+c} = t(x- x_{1}) ale nie wiem jak to zrobić za bardzo.
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2019
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 3 cze 2018, o 20:06 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 13931
Lokalizacja: Wrocław
\int_{}^{} x^2 \sqrt{9-x^2} dx=-  \int_{}^{}(9-x^2-9)\sqrt{9-x^2}\,\dd x=-\int_{}^{}(9-x^2)^{\frac 3 2}\,\dd x+9 \int_{}^{} \sqrt{9-x^2}\,\dd x
„Policzmy" teraz przez części tę całkę:
\int_{}^{} (9-x^2)^{\frac 3 2}\,\dd x=x(9-x^2)^{\frac 3 2}+\int_{}^{} 3x^2\sqrt{9-x^2}
a zatem jeśli oznaczmy
I=\int_{}^{} x^2 \sqrt{9-x^2} dx, to otrzymaliśmy
I=-x(9-x^2)^{\frac 3 2}-3I+9 \int_{}^{} \sqrt{9-x^2}\,\dd x
a stąd
I=-\frac x 4 (9-x^2)^{\frac 3 2}+\frac 9 4 \int_{}^{} \sqrt{9-x^2}\,\dd x
a tę ostatnią całkę łatwo się liczy przez części:
\int_{}^{} \sqrt{9-x^2}\,\dd x= \int_{}^{}  \frac{9-x^2}{\sqrt{9-x^2}} \,\dd x=\\=3\arcsin\left( \frac x 3\right)+\int_{}^{}x\left( \sqrt{9-x^2}\right)' \,\dd x=\\=3\arcsin\left( \frac x 3\right)+x\sqrt{9-x^2}- \int_{}^{} \sqrt{9-x^2}\,\dd x
czyli jeśli J=\int_{}^{} \sqrt{9-x^2}\,\dd x, to z dokładnością do stałej mamy
J=3\arcsin\left( \frac x 3\right)+x\sqrt{9-x^2}- J, czyli
J=\frac 3 2\arcsin\left( \frac x 3\right)+\frac x 2\sqrt{9-x^2}+C
oraz ostatecznie
I=-\frac x 4 (9-x^2)^{\frac 3 2}+\frac 9 4 \int_{}^{} \sqrt{9-x^2}\,\dd x=\\=-\frac x 4 (9-x^2)^{\frac 3 2}+\frac{27}{8}\arcsin\left( \frac x 3\right) +\frac 9 8 x\sqrt{9-x^2}+C

-- 3 cze 2018, o 19:11 --

Mogłem się pomylić w jakichś rachunkach typu \frac 3 2\cdot 3, ale idea może być właśnie taka.
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 3 cze 2018, o 21:02 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 6685
Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
Po podstawieniu Eulera dostaniemy następującą całkę

\int_{}^{} x^2  \sqrt{9-x^2} dx\\
 \sqrt{9-x^2}=\left( 3-x\right)t\\
\left( 3-x\right)\left( 3+x\right)=\left( 3-x\right)^2t^2\\    
3+x=\left( 3-x\right)t^2\\
3+x = 3t^2-xt^2\\
xt^2+x=3t^2-3\\
x\left( t^2+1\right) = 3t^2-3\\
x=\frac{3t^2-3}{t^2+1}\\
\left( 3-x\right)t=\frac{\left( \left( 3t^2+3\right)-\left(3t^2-3 \right) \right) t }{t^2+1} \\
\left( 3-x\right)t=\frac{6t}{t^2+1}\\
 \mbox{d}x =\frac{6t\left( t^2+1\right)-2t\left( 3t^2-3\right)  }{\left( t^2+1\right)^2 } \mbox{d}t\\
 \mbox{d}x =\frac{12t }{\left( t^2+1\right)^2 } \mbox{d}t\\
\int{ \frac{9\left( t^2-1\right)^2 }{\left( t^2+1\right)^2 } \cdot \frac{6t}{t^2+1}\frac{12t }{\left( t^2+1\right)^2 } \mbox{d}t  }\\
648\int{\frac{t^2\left( t^2-1\right)^2 }{\left( t^2+1\right)^{5} } \mbox{d}t}

Aby policzyć całkę którą otrzymaliśmy można zastosować wzór Ostrogradskiego
albo wzór redukcyjny
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 3 cze 2018, o 21:10 
Użytkownik

Posty: 36
Bardzo fajny pomysł z tym rozpisaniem na samym początku, @Premislav, nie myślałem żeby tak robić wcześniej, ale nie bardzo rozumiem w jaki dokładnie sposób obliczyłeś przez części całkę \sqrt{9-x^2}dx . Czy mógłbyś to bardziej nakreślić bo nie wychodzi mi tak jak tobie.
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 3 cze 2018, o 21:57 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 6685
Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
Do pierwszego całkowania przez części wziął

\mbox{d}u =  \mbox{d}x \qquad v=\left( 9-x^2\right)^{ \frac{3}{2} }


ale przez części można całkować też w ten sposób


\int_{}^{} x^2 \sqrt{9-x^2} dx=\frac{x^3}{3}\sqrt{9-x^2}-\frac{1}{3}\int{\frac{-x^4}{ \sqrt{9-x^2} } \mbox{d}x }\\
\int_{}^{} x^2 \sqrt{9-x^2} dx=\frac{x^3}{3}\sqrt{9-x^2}-\frac{1}{3}\int{\frac{9x^2-x^4-9x^2}{ \sqrt{9-x^2} } \mbox{d}x }\\
\int_{}^{} x^2 \sqrt{9-x^2} dx=\frac{x^3}{3}\sqrt{9-x^2}-\frac{1}{3}\int_{}^{} x^2 \sqrt{9-x^2} dx-\int{\frac{27-3x^2-27}{\sqrt{9-x^2}} \mbox{d}x }\\
\frac{4}{3}\int_{}^{} x^2 \sqrt{9-x^2} dx=\frac{x^3}{3}\sqrt{9-x^2}-3  \int_{}^{} { \sqrt{9-x^2}  \mbox{d}x }+27\int{ \frac{ \mbox{d}x }{\sqrt{9-x^2}} }\\
\int_{}^{} x^2 \sqrt{9-x^2} dx=\frac{1}{4}x^3 \sqrt{9-x^2}-\frac{9}{4}\int{ \sqrt{9-x^2} \mbox{d}x  } +\frac{81}{4}\int{ \frac{ \mbox{d}x }{ \sqrt{9-x^2} } }\\
 \int_{}^{} \sqrt{9-x^2} \mbox{d}x =x\sqrt{9-x^2}- \int_{}^{} {\frac{-x^2}{ \sqrt{9-x^2} } \mbox{d}x }\\
 \int_{}^{} \sqrt{9-x^2} \mbox{d}x =x\sqrt{9-x^2}- \int_{}^{} {\frac{9-x^2-9}{ \sqrt{9-x^2} } \mbox{d}x }\\
 \int_{}^{} \sqrt{9-x^2} \mbox{d}x =x\sqrt{9-x^2}-  \int_{}^{} \sqrt{9-x^2} \mbox{d}x+\int{ \frac{9}{ \sqrt{9-x^2} }  \mbox{d}x }\\
2\int_{}^{} \sqrt{9-x^2} \mbox{d}x =x\sqrt{9-x^2}+9 \int_{}^{} {\frac{ \mbox{d}x }{ \sqrt{9-x^2} }}\\
\int_{}^{} \sqrt{9-x^2} \mbox{d}x = \frac{1}{2}x\sqrt{9-x^2}+\frac{9}{2}\int_{}^{} {\frac{ \mbox{d}x }{ \sqrt{9-x^2} }}\\
\int_{}^{} x^2 \sqrt{9-x^2} dx=\frac{1}{4}x^3 \sqrt{9-x^2}-\frac{9}{4}\left(\frac{1}{2}x\sqrt{9-x^2}+\frac{9}{2}\int_{}^{} {\frac{ \mbox{d}x }{ \sqrt{9-x^2} }} \right)  +\frac{81}{4}\int{ \frac{ \mbox{d}x }{ \sqrt{9-x^2} } }\\
\int_{}^{} x^2 \sqrt{9-x^2} dx=\frac{1}{8}\left( 2x^3-9x\right) \sqrt{9-x^2}  +\frac{81}{8}\int{ \frac{ \mbox{d}x }{ \sqrt{9-x^2} } }\\
\frac{81}{8}\int{ \frac{ \mbox{d}x }{ \sqrt{9-x^2} } }\\
x=3t\\
 \mbox{d}x =3 \mbox{d}t\\
\frac{81}{8} \cdot 3 \int{ \frac{ \mbox{d}t}{ \sqrt{9-9t^2} } }\\
\frac{81}{8}\int{ \frac{ \mbox{d}t}{ \sqrt{1-t^2} } }\\
\frac{81}{8}\int{ \frac{ \mbox{d}x }{ \sqrt{9-x^2} } }=\frac{81}{8}\arcsin{\left(  \frac{x}{3} \right) }\\
\int_{}^{} x^2 \sqrt{9-x^2} dx=\frac{1}{8}\left( 2x^3-9x\right) \sqrt{9-x^2}  +\frac{81}{8}\arcsin{\left(  \frac{x}{3} \right) }+C\\
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 5 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Równanie różniczkowe drugiego rzędu-metoda eulera-Metody num  Piotr701  0
 Metoda Eulera - zadanie 6  grimsailor  0
 równanie różniczkowe o rozdzielonych zmiennych+podstawienie  by_the_way  1
 Równanie różniczkowe Eulera - sprawdzić rozwiązanie  machacz  2
 Funkcja beta Eulera - zastosowania  Kaef  0
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl