szukanie zaawansowane
 [ Posty: 2 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna
PostNapisane: 20 maja 2018, o 23:48 
Użytkownik

Posty: 88
Lokalizacja: Warszawa
Witam,

N \mbox{d}x +M \mbox{d}y=(x^2y^3+y) \mbox{d}x +(x^3y^2-x) \mbox{d}y=0
N_y=3y^2x^2+1,M_x=3y^2x^2-1
N_y-M_x=2 \neq 0

Szukam czynnika całkowego postaci \mu(\sqrt{xy})
\mu_x=\frac{\sqrt y}{2\sqrt{x}}\mu',\mu_y=\frac{\sqrt x}{2\sqrt{y}}\mu'
Teraz wymnazam róœnanie wyjściowe przez czynnik i różniczkuje
\mu(N_y-M_x)=2\mu=\mu_xM-\mu_yN=\mu' \frac{\sqrt y}{2\sqrt{x}}M-\mu'\frac{\sqrt x}{2\sqrt{y}}N=\break= \mu'\frac{\sqrt y}{2\sqrt{x}}(x^3y^2-x) -\mu'\frac{\sqrt x}{2\sqrt{y}}(x^2y^3+y)=\mu'\frac{1}{2}((xy)^{\frac{5}{2}}-\sqrt{xy})-\mu'\frac{1}{2}((xy)^{\frac{5}{2}}+\sqrt{xy})=\break =-\mu'\sqrt{xy}

Mamy równanie
2\mu=-\mu'\sqrt{xy},niech t=\sqrt{xy}. Wtedy rownanie ma postac (\mu jest funkcja zmiennej t=\sqrt{xy})


\frac{ \mbox{d}\mu }{\mu}= \frac{-2 \mbox{d}t }{t} którego rozwiązaniem jest np
\mu(t)=t^{-2}

Zatem czynnik calkujacy to \mu(x,y)= \frac{1}{xy}

Ale niestety,
(\mu N)_y=\left( \frac{x^2y^2+1}{x}\right)_y   \neq \left( \mu M\right)_x=\left(  \frac{x^3y^2-x}{xy} \right)_x =\left(  \frac{x^2y^2-1}{y} \right)_x
co widac od razu

Co poszło nie tak?
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2019
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 21 maja 2018, o 20:52 
Użytkownik

Posty: 4787
M(x,y):= M, \ \  N(x,y) := N, \ \ \mu(x,y) := \mu.

\mu M dx + \mu N dy = 0 (1)

(\mu M)_{|y} = ( \mu N)_{|x} (2)

\mu_{y}M + \mu M_{y} = \mu_{x} N - \mu N_{x} (3)

\mu_{y}M - \mu_{x}N = \mu ( N_{x} - M_{y}) (4)

Kładąc

N_{x} - M_{y} = R(z)( xM - yM); \ \ z = xy (5)

\mu_{y} M - \mu_{x}N = R(z)(\mu x M - \mu y N) (6)

\begin{cases} \mu_{y} = \mu x R(z)\\ \mu_{x} = \mu_{y}R(z) \end{cases} (7)

\mu = \mu(x,y) = \mu(z) (8)

\mu_{x}(z) = \frac{\partial \mu}{\partial z}\cdot \frac{\partial z}{\partial x}=\mu'(z) y (9)

\mu_{y}(z) =  \frac{\partial \mu}{\partial z}\cdot \frac{ \partial z}{\partial y}= \mu'(z) x (10)

\begin{cases} \mu'(z) x = \mu(z) x R(z) \\ \mu'(z)y = \mu(z) y R(z) \end{cases} (11)

\mu'(z) = \mu(z) R(z) \rightarrow \frac{d\mu}{\mu} = R(z)dz (12)

\mu(z) = e^{\int R(z)dz } (13)

\frac{N_{x} - M_{y}}{xM - yN} = R(xy) = R(z) (14)

(x^2 y^3 + y)dx + ( x^3 y^2 - x) dy = 0 (15)

Z (14):

R(x,y) = \frac{3x^2-1 -3x^2 -1}{x^3y^3 +xy -x^3y^3 +xy}= \frac{-2}{2xy}=\frac{-1}{xy}= -\frac{1}{z} (16)

Z ( 13):

\mu(z) = e^{-\int \frac{1}{z}dz} = e^{-\ln(z)}= \frac{1}{z}= \frac{1}{xy} (17)

\frac{1}{xy}\left( x^2 y^3 +y \right )dx + \frac{1}{xy}\left( x^3y^2 -x\right) dy= 0 (18)

\left( xy^2 + \frac{1}{x}\right)dx + \left ( x^2y - \frac{1}{y} \right) dy = 0 (19)

\overline{M}_{y}= 2xy = \overline {N}_{x}= 2xy

Proszę znaleźć całkę ogólną równania zupełnego (19).
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 2 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Różniczka metodą uzmienniania  alek26  0
 Różniczka zupełna - rachunek błędów  arekd13  1
 różniczka drugiego rzędu - zadanie 2  kojotek  5
 Różniczka zupełna do obliczania błędu pomiaru - zadanie 2  Purystka94  0
 Różniczka metodą uzmienniania stałych  lordmatiz  3
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl