szukanie zaawansowane
 [ Posty: 6 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna
PostNapisane: 19 maja 2018, o 15:40 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 18
Lokalizacja: Wrocław
Mam takie zadanie:
Skonstruuj rozwiązanie metodą rozdzielania zmiennych następującego zagadnienia:
u _{t} = u_{y}, u(0,y) = e ^{y}  + e^{-2y}

No to szukam rozwiązania postaci:
u(t,y) = T(t)  \cdot Y(y)

Podstawiając do równania początkowego dostaję:
T'(t) \cdot Y(y) = T(t) \cdot Y'(y)

No i mam że:
\frac{T'(t)}{T(t)}  =  \frac{Y'(y)}{Y(y)}

Więc to musi być równe jakiejś stałej - \lambda i otrzymuję równania:
Y'(y) + \lambda Y(y) = 0,   T'(t) + \lambda T(t)=0

Więc jak sobie oba rozwiąże to wychodzi:
T(t) = c_{1} \cdot e^{- \lambda t}, Y(y) = c_{2} \cdot e^{- \lambda y}

I w tym momencie nie wiem co zrobić, proszę o pomoc.
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2019
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 19 maja 2018, o 17:35 
Gość Specjalny

Posty: 5966
Lokalizacja: Toruń
No to masz u(t,y) = T(t) Y(y). Podstaw to pod równanie i warunek początkowy, aby wyznaczyć stałe/zależności między nimi.
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 19 maja 2018, o 18:14 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 18
Lokalizacja: Wrocław
No to wychodzi:
u(0,y) = e^{y} - e^{2y} = c_{1} c_{2} \cdot e^{- \lambda y}

i po przekształceniach:
y(0) = ln(1 - c_{1} c_{2} e^{- \lambda })

I dalej nadal nie wiem :|
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 19 maja 2018, o 19:02 
Gość Specjalny

Posty: 5966
Lokalizacja: Toruń
Jakie y(0)? Czy tutaj y=y(t) jest funkcją??
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 19 maja 2018, o 19:07 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 18
Lokalizacja: Wrocław
Jest to równanie różniczkowe cząstkowe więc wydaje mi się, że tak.
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 19 maja 2018, o 19:24 
Gość Specjalny

Posty: 5966
Lokalizacja: Toruń
Leoneq napisał(a):
Jest to równanie różniczkowe cząstkowe więc wydaje mi się, że tak.


Jeżeli jest to równanie cząstkowe, to źle Ci się wydaje. y to po prostu zmienna, a szukasz funkcji u=u(t,y).

-- 19 maja 2018, o 19:30 --

Zauważ, że równanie
u_t = u_y
ma następującą własność: jeśli u_1 i u_2 są rozwiązaniami, to suma u_1+u_2 również.

Zatem, dla każdej \lambda \in \RR znalazłeś rozwiązanie postaci u(t,y) = C e^{-\lambda y - \lambda t}. Zatem, patrząc na warunek początkowy, sugeruje to, aby poszukiwać równań w postaci sumy
u(t,y) = C_1 e^{-\lambda_1 y - \lambda_1 t} + C_2 e^{-\lambda_2 y - \lambda_2 t}
Podstawiając to do warunku początkowego
e^y +e^{-2y} = u(0,y) = C_1 e^{-\lambda_1 y} + C_2 e^{-\lambda_2 y}
stąd C_1 = 1, C_2 = 1, \lambda_1 = -1 i \lambda_2 = 2. Dostajemy zatem rozwiązanie
u(t,y) = e^{y + t} + e^{-2 y - 2 t}.
Łatwo sprawdzić, że istotnie ta funkcja spełnia równanie.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 6 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Równanie różniczkowe - metoda charakterystyk - zadanie 2  Otwieracz  6
 równanie różniczkowe metoda przewidywania ?  juvex  2
 Rozwiązanie szczególne równania różniczkowego - zadanie 2  MajkoPolo  1
 Rozwiązanie równania rózniczkowego  miggot  1
 Równanie różniczkowe o rozdzielonych zmiennych - zadanie 4  yonagold  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl