szukanie zaawansowane
 [ Posty: 2 ] 
Autor Wiadomość
Kobieta Offline
PostNapisane: 15 maja 2018, o 14:09 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 9
Lokalizacja: Polska
Mam wykazać zbieżność ciągu:
a_{n} = \frac{1}{n+1} \left( n + 1 + nz + (n-1)z^{2} + ... + z^{n}\right) \ \ \ \mbox{dla} \ \ \   |z| \le 1 , \ \ z \neq 1

No i teraz badając moduł dostaję:

|a_{n}| =  \frac{1}{n+1} \left| \sum_{k=0}^{n}  z^{k} (n+1-k)\right|  \le 
 \frac{1}{n+1}  \sum_{k=0}^{n} \left| z^{k} \right| (n+1-k)

No i co teraz? Mogę to oszacować znów:

\le \frac{1}{n+1}  \sum_{k=0}^{n} c  \cdot (n+1-k)  = \frac{1}{n+1} \cdot \frac{1}{2} (n+1)(n+2) \cdot c = \\ = \frac{1}{2} (n+2) \cdot c  \ \mbox{gdzie} \ \ c \in [0,1]

A tu już może być różnie. Może to zbiegać do 0, albo do nieskonczoności.
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2019
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 maja 2018, o 14:45 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 13696
Lokalizacja: Wrocław
To ani nie dowodzi zbieżności, ani jej nie zaprzecza. Oszacowanie modułu z góry przez coś rozbieżnego nic nam tu nie daje.
Mamy
\sum_{k=0}^{n} z^{k} (n+1-k)= \sum_{k=1}^{n+1}k z^{n+1-k}=\\=z^{n+1} \sum_{k=1}^{n+1}kz^{-k}
Teraz znajdźmy zwartą postać sumy \sum_{k=1}^{n+1}kz^{-k} dla z\in \CC\setminus\left\{ 0,1\right\} (może jeszcze pozostaje zauważyć, że dla z=0 dostajemy ciąg stały, który oczywiście jest zbieżny):
jest
\sum_{k=1}^{n+1}kz^{-k}=  \sum_{k=0}^{n} (k+1)z^{-k-1}=\\= \sum_{k=0}^{n}kz^{-k-1}+ \sum_{k=0}^{n}z^{-k-1}
a zatem
z \sum_{k=1}^{n+1} kz^{-k}= \sum_{k=0}^{n}kz^{-k}+ \sum_{k=0}^{n} z^{-k}
czyli
z \sum_{k=1}^{n+1} kz^{-k}=-(n+1)z^{-n-1}+ \sum_{k=1}^{n+1}kz^{-k}+ \sum_{k=0}^{n} z^{-k}\\(z-1)\sum_{k=1}^{n+1} kz^{-k}=-(n+1)z^{-n-1}+\sum_{k=0}^{n} z^{-k},
przy czym \sum_{k=0}^{n} z^{-k} to suma początkowych wyrazów ciągu geometrycznego o ilorazie \frac 1 z, więc gdy \frac{1}{z}\neq 1, czyli z\neq 1, to wynosi ona \frac{1-z^{-n-1}}{1-z^{-1}}
Otrzymaliśmy więc:
\sum_{k=1}^{n+1} kz^{-k}= \frac{1}{1-z}\left( (n+1)z^{-n-1}-\frac{1-z^{-n-1}}{1-z^{-1}} \right),
toteż
\frac{z^{n+1}}{n+1}\sum_{k=1}^{n+1} kz^{-k}= \frac{1}{(n+1)(1-z)}\left(n+1-\frac{z^{n+1}-1}{1-z^{-1}} \right)=\\= \frac{1}{1-z}+\frac{z^{n+2}-z}{n+1}
i z uwagi na to, że dla |z|\le 1 mamy
\left|  \frac{z^{n+2}-z}{n+1} \right|  \le  \frac{|z|^{n+2}+|z|}{n+1} \le  \frac{2}{n+1}\stackrel{n\rightarrow \infty}\longrightarrow 0
otrzymujemy, że ciąg z zadania jest zbieżny do
\frac{1}{1-z} dla dowolnego z\in \CC spełniającego |z|\le 1, \ z\neq 1.



A może przy odpowiednich założeniach da się uogólnić spostrzeżenie o granicy ciągu arytmetycznego znane z Analizy 1 na przypadek zespolony :?: Wprawdzie tutaj to by i tak nie załatwiło sprawy (chyba że po jakichś sztuczkach), ale takie skojarzenie wywołała we mnie ta suma.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 2 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 zbieżność ciągu zespolonego  anetaaneta1  3
 zbieznosć ciągu zespolonego - zadanie 2  anetaaneta1  2
 zbieżność ciągu zespolonego - zadanie 3  luthien91  2
 zbieżność ciągu zespolonego - zadanie 4  luthien91  1
 Zbieżność szeregu na osi urojonej  Studentka1992  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl