szukanie zaawansowane
 [ Posty: 6 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 14 maja 2018, o 17:38 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 21
Lokalizacja: Wrocław
Moglibyście zweryfikować odpowiedzi z egzaminu wstępnego do Wrocławskiego lo nr. III?
Zad 1)Dane jest n=2 ^{12}, która z tych liczb jest większa? 2 ^{n}, czy n^{1000}
Zad 2) Czy istnieje taka liczba naturalna n, że n ^{2}+1 jest podzielne przez 3?
Zad 3) W trójkącie równobocznym ABC o boku 8 na boku AB wyznaczono taki punkt D, że \left| AD\right|= 3. Ile wynosi długość odcinka CD.
Zad 4) Wyznacz resztę z dzielenia liczby 1234567891011....9899 przez 9.
Zad 5) Znajdź wszystkie możliwe dwójki x i y spełniających układ równań
\begin{cases} x ^{5}=2y \\ y ^{3}= 16x \end{cases}
Zad 6)Wykaż, że liczba \frac{1}{ \frac{1}{4+ \sqrt{26} } +  \frac{1}{6+ \sqrt{26} } } jest wymierna.
Zad 7) Dany jest czworokąt wypukły ABCD, gdzie AB=CD=4 i AD=BC=3 oraz długość przekątnej DB jest równa 5. Ile wynosi długość przekątnej CA?

To moje odpowiedzi:
Zad 1) n ^{1000}=\left( 2 ^{12} \right) ^{1000}=2 ^{12000}
2 ^{n}= 2  ^{2 ^{12} } = 2 ^{4096}  \Rightarrow  n ^{1000}>2 ^{n}
Zad 2) Możliwe reszty z dzielenia n przez 3 to 0,1,2, więc mamy:
n \equiv 0 \pmod{3} \\
 n \equiv1 \pmod{3} \\
 n \equiv 2 \pmod{3}
więc
n ^{2}  \equiv 0 \pmod{3}\\
 n^{2}  \equiv 1 \pmod{3} \\
 n^{2}  \equiv 4 \pmod{3}
więc
n ^{2}+1  \equiv 1 \pmod{3} \\
  n^{2}+1  \equiv 2 \pmod{3} \\
  n^{2}+1  \equiv 5 \pmod{3}
Zatem nie istnieje takie naturalne n, że n ^{2} +1 jest podzielne przez 3.
Zad3) \left| BC\right| jest przeciwprostokątną trójkąta o przyprostokątnych 1, 4\sqrt{3}, więc \left| BC\right| =  \sqrt{1 ^{2} + \left( 4 \sqrt{3} \right) ^{2}} =  \sqrt{49}
Zad 4) Zauważmy, że suma cyfr tej liczby, to suma cyfr od 1 do 99, czyli 99 \cdot 50. Skoro suma cyfr podzielna jest przez 9, to ta liczba także podzielna jest przez 9 \Rightarrow reszta z dzielenia tej liczby przez 9 jest równa 0.
Zad 5) y= \frac{x ^{5} }{2}
y ^{3}=\left( \frac{x ^{5} }{2}\right) ^{3} =   \frac{x ^{15}}{8} = 16x
x ^{15}=128x \Rightarrow x ^{14}=128  \Rightarrow  x \in Z
Z tego wynika, że x musi być równe 0. Skoro y=\frac{x ^{5} }{2}, to y=0, zatem jedyną dwójką x,y spełniającą ten układ są x=0,y=0
Zad 6)
\frac{1}{ \frac{1}{4+ \sqrt{26} } +  \frac{1}{6+ \sqrt{26} } }=\frac{1}{\frac{6+\sqrt{26} + 4+\sqrt{26}}{(4+ \sqrt{26})(6+\sqrt{26})}}=  \frac{1}{ \frac{10+2\sqrt{26}}{50+10\sqrt{26}} } = \frac{1}{ \frac{2(5+ \sqrt{26}) }{10(5+ \sqrt{26})} } =  \frac{1}{ \frac{1}{5} }= 5
Zad 7)
Tutaj trochę blefowałem, bo nie wystarczyło mi czasu, dlatego nie wrzucam rozwiązania. Ale wyszło mi, że jest równa 5. Poprawcie jeżeli nie.
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2019
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 14 maja 2018, o 20:38 
Użytkownik

Posty: 157
Lokalizacja: Zamość
Zadanie 1 - Bez zastrzeżeń.
Zadanie 2 - Dodałbym, że w trzecim przypadku n ^{2}+1 \equiv 5 \equiv 2 \pmod{3}, ale to tylko drobna uwaga, wszystko jest dobrze.
Zadanie 3 - Tak, i oczywiście \sqrt {49}=7.
Zadanie 4 -
Cytuj:
Zauważmy, że suma cyfr tej liczby, to suma cyfr(...)

liczb*
Ale tak czy siak - tok myślenia dobry.
Zadanie 5 -
Cytuj:
x ^{15}=128x \Rightarrow x ^{14}=128

No niekoniecznie. Co jeśli x=0? Wtedy dzielisz przez 0, a tak nie można, be. Zapewne tego nie napisałeś, ale chyba wiesz o tym, bo stwierdzasz później, że x=0. Ja na twoim miejscu przerzuciłbym wszystko na jedną stronę:
x^{15} - 128x = 0, więc x(x^{14} - 128) = 0 i stąd masz x=0  \vee x^{14} - 128=0. Przypadek x=0 rozwiązałeś.
Ogólnie:
Cytuj:
x ^{14}=128 \Rightarrow x \in Z
to jest blefem, powinieneś zapisać to inaczej, może tak: "x ^{14}=128   \Rightarrow |x| = \sqrt{2}, stąd wynika, że x nie jest całkowite, więc nie istnieje takie x  \in \ZZ".

Swoją drogą, błąd w poleceniu, że nie napisałeś, że x \in \ZZ, czy w rozwiązaniu, że właśnie przyjąłeś, że x \in \ZZ? Mi się wydaje, że powinno być to w liczbach rzeczywistych. Wtedy powinieneś też rozwiązać przypadki x = \sqrt {2}  \vee x = - \sqrt{2}.

Zadanie 6 - Bez zastrzeżeń.
Zadanie 7 - Tak, ten czworokąt to najzwyklejszy prostokąt! :P Jesli chodzi o pokazanie, że to jest prostokąt, to jest to czysty rachunek na kątach, wystarczy oznaczyć pewne dwa kąty \alpha, \beta i później przenieść je tak, żeby pokazać, że \alpha + \beta = 90^ \circ.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 14 maja 2018, o 20:50 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 21
Lokalizacja: Wrocław
W 3 zostawiłem \sqrt{49}, bo zadania musiałem robić naprawdę szybko i zapomniałem wyciągnąć. Zastanawiam się, czy mogą mi odjąć punkt za to.
Co do 4 to pisałem na szybko i mogłem pomylić słowa przy przepisywaniu. Tak czy inaczej chodziło o liczby.
W 5 chodziło o liczby rzeczywiste, nie wziąłem pod uwagę innych x z powodu presji czasu. Czyli są jakieś inne rozwiązania poza 0 i 0?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 14 maja 2018, o 21:05 
Użytkownik

Posty: 157
Lokalizacja: Zamość
Tak, są. I to dwa. ;)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 maja 2018, o 01:17 
Użytkownik

Posty: 49
Lokalizacja: Polska
Co do zadania 4, to moim zdaniem blef, bo piszesz

Cytuj:
Zauważmy, że suma cyfr tej liczby, to suma cyfr od 1 do 99
.
Załóżmy, że miałeś na myśli "suma liczb". Otóż nie masz racji. Suma cyfr tej liczby, to 900, natomiast suma, o której piszesz jest równa 99 \cdot 50 = 4950. Wynik owszem, dobry - uzasadnienie natomiast błędne.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 maja 2018, o 05:58 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 21
Lokalizacja: Wrocław
enedil napisał(a):
Co do zadania 4, to moim zdaniem blef, bo piszesz

Cytuj:
Zauważmy, że suma cyfr tej liczby, to suma cyfr od 1 do 99
.
Załóżmy, że miałeś na myśli "suma liczb". Otóż nie masz racji. Suma cyfr tej liczby, to 900, natomiast suma, o której piszesz jest równa 99 \cdot 50 = 4950. Wynik owszem, dobry - uzasadnienie natomiast błędne.


Faktycznie, ale nie był to blef bo na sali myślałem, że to dobre uzasadnienie. Zajmując się pierwszymi cyframi w tej liczbie tj. 12345... kompletnie nie przeszła mi taka banalna myśl przez głowę, że powyżej 10 zaczyna się komplikacja i nie jest to suma kolejnych liczb naturalnych.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 6 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Zadania egzaminacyjne, I  Anonymous  3
 Zadania egzaminacyjne, II  Anonymous  4
 Zadania z różnych dziedzin matematyki...  Anonymous  1
 Zadania na kolko matematyczne  Anonymous  1
 [konkurs] Zadania z WKM  Anonymous  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl