szukanie zaawansowane
 [ Posty: 5 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna
PostNapisane: 5 kwi 2018, o 16:49 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 18
Lokalizacja: Wrocław
Mam takie oto zadanie:
Pokaż, że równanie ty' + ay = f(t) gdzie a > 0, \lim_{ t\to0 }f(t)=b
ma jedyne rozwiązanie ograniczone dla t\to 0. Zbadaj przypadek a < 0

No i doszedłem do czegoś takiego
y =  \frac{ \int_{}^{}  t^{a-1} f(t) dt - C} {t^{a}}

I nie mam pojęcia jak to dalej ruszyć i co dają mi te warunki.
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2019
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 5 kwi 2018, o 17:59 
Gość Specjalny

Posty: 5968
Lokalizacja: Toruń
Jedyność - przypuść, że istnieją dwa rozwiązania. Jakie wówczas równanie spełnia różnica tych rozwiązań? Otrzymasz równanie zmiennych rozdzielonych i wzór na różnicę między rozwiązaniami.
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 5 kwi 2018, o 19:26 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 18
Lokalizacja: Wrocław
Czyli zakładam że istnieją dwa rozwiązania y_{1} i y_{2}.
Wtedy ty_{1}' +ay_{1} - ty_{2}' - ay_{2} = f(t)-f(t)=0

Dalej przekształcając mam:
\frac{y_{1}' - y_{2}'}{-a(y_{1} - y_{2})} = \frac{1}{t}

Podstawiam jakieś z(t) = y_{1} - y_{2}

I dostaję że \int_{}^{} \frac{dz}{-az} = \ln (t)

a potem \ln (z ^{-a} ) = \ln (t)

I dalej y_{1} - y_{2} = \sqrt[-a]{t} = \frac{1}{ \sqrt[a]{t} }

I nadal niezbyt wiem gdzie mam wykorzystać granicę \lim_{t \to 0}f(t) = b i to że a > 0
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 5 kwi 2018, o 19:44 
Gość Specjalny

Posty: 5968
Lokalizacja: Toruń
No dobra - tylko, gdzieś stałą całkowania zgubiłeś. Masz, że dla dowolnych rozwiązań zachodzi
y_1 (x) = y_2(x) + \frac{C}{\sqrt[a]{t}}
Zatem, jeśli C \neq 0, to drugie z rozwiązań nie jest ograniczone. Czyli rozwiązanie ograniczone istnieje co najwyżej jedno.

Granicę musisz wykorzystać, aby pokazać, że istnieje przynajmniej jedno ograniczone rozwiązanie.
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 5 kwi 2018, o 20:10 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 18
Lokalizacja: Wrocław
Czy wystarczy że powiem że jeśli:
\lim_{t \to 0}f(t) =  \lim_{t \to 0}ty'(t)+ay(t) = b
To oznacza, że istnieje co najmniej jedno rozwiązanie, które jest ograniczone, bo jeśli nie istniało by rozwiązanie ograniczone to wtedy ta granica nie mogłaby być równa b, bo jeśli funkcja y dążyłaby do nieskończoności to jej pochodna byłaby większa od 0 więc ta granica byłaby nieskończona bo a>0 i podobnie w minus nieskończoności.

Za to warunek a>0 daje nam to, że nie może istnieć więcej niż jedno rozwiązanie które jest ograniczone, bo przy warunku a<0, \frac{C}{ \sqrt[a]{t} } nie będzie dążyć do nieskończoności dla t \rightarrow 0
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 5 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Równanie różniczkowe  Anonymous  6
 Równanie Hamiltona-Jacobiego  Pikaczu  0
 Rozwiązanie asymptotyczne równania różniczkowego  Pikaczu  0
 rownanie linii lancuchowej  bisz  1
 Równanie różniczkowe - zadanie 10  niebieski  0
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl