szukanie zaawansowane
 [ Posty: 8 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna
PostNapisane: 31 mar 2018, o 17:19 
Użytkownik

Posty: 4
Lokalizacja: Poznań
Mam takie oto równanie:

y''-y'=\sinh x

Z obliczeniem równania charakterystycznego nie mam problemu, jednak zastanawia mnie druga strona równania. Czy mogę sobie tego sinusa hiperbolicznego zastąpić jako:

\sinh x=\frac{e^{x}-e^{-x}}{2}

No i jeżeli mogę to w jaki sposób ugryźć takie zadanko? :mrgreen:
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2019
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 31 mar 2018, o 17:28 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 7058
Tak, mozesz tak rozpisać.
Całka ogólna równania jednorodnego to:
y_o=C_1+C_2e^x
Wobec tego przewidujesz całkę szczególną równania niejednorodnego jako:
y_s=Axe^x+Be^{-x}
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 31 mar 2018, o 17:30 
Gość Specjalny

Posty: 5968
Lokalizacja: Toruń
Tak - możesz zastąpić.
Zauważ, że tak naprawdę masz równanie pierwszego rzędu. Podstawiając z = y' dostajemy zagadnienie
z'(x) - z(x) = \frac{e^{x}-e^{-x}}{2}
Teraz, mnożąc obustronnie przez e^{-x} mamy
e^{-x} z'(x) + (-e^{-x})z(x) = \frac{1 - e^{-2x}}{2} \\
(e^{-x} z(x) ) ' = \frac{1 - e^{-2x}}{2}
Podstawiając u(x) = e^{-x} z(x) dostajesz równanie
u'(x) = \frac{1 - e^{-2x}}{2} \\
u(x) = \int\frac{1 - e^{-2x}}{2} \, \mathrm{d}x
Obliczasz tę całkę, a następnie cofasz się z podstawieniami.
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 2 kwi 2018, o 18:20 
Użytkownik

Posty: 4
Lokalizacja: Poznań
Okej, więc zacząłem robić to zadanko.
y'' z całki szczególnej wyszedł mi taki sam jak całka szczególna i należy to podstawić do głównego wzoru.
Oto jak to wygląda:
Ae^{x}+Be^{-x}-Ae^{x}+Be^{-x}=\frac{1}{2}e^{x}-\frac{1}{2}e^{-x}
A po skróceniu:
2Be^{-x}=\frac{1}{2}e^{x}-\frac{1}{2}e^{-x}
No i teraz co? Wyjdzie mi że:
A=0
B=\frac{1}{4}
Mam rację?
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 2 kwi 2018, o 19:14 
Gość Specjalny

Posty: 5968
Lokalizacja: Toruń
wolnio napisał(a):
Okej, więc zacząłem robić to zadanko.
y'' z całki szczególnej wyszedł mi taki sam jak całka szczególna i należy to podstawić do głównego wzoru.
Oto jak to wygląda:
Ae^{x}+Be^{-x}-Ae^{x}+Be^{-x}=\frac{1}{2}e^{x}-\frac{1}{2}e^{-x}
A po skróceniu:
2Be^{-x}=\frac{1}{2}e^{x}-\frac{1}{2}e^{-x}
No i teraz co? Wyjdzie mi że:
A=0
B=\frac{1}{4}
Mam rację?


Zdaje się, że zgubiłeś iksa: Axe^x, a nie Ae^x.
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 2 kwi 2018, o 19:55 
Użytkownik

Posty: 4
Lokalizacja: Poznań
Faktycznie :?
No to skoro tak to:
y_{s}=Axe^{x}+Be^{-x} \\
 y_{s}'=Axe^{x}+Ae^{x}-Be^{-x} \\
 y_{s}''=Axe^{x}+Ae^{x}+Ae^{x}+Be^{-x}
To później po podstawieniu:
A=\frac{1}{4} \\
 B=0
?
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 2 kwi 2018, o 20:44 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 7058
wolnio napisał(a):
e^{-x} \\
 y_{s}'=Axe^{x}+Ae^{x}-Be^{-x} \\
 y_{s}''=Axe^{x}+Ae^{x}+Ae^{x}+Be^{-x}
To później po podstawieniu:
A=\frac{1}{4} \\
 B=0

Mi wychodzi inaczej:
y''-y'= \frac{1}{2}e^x- \frac{1}{2}e^{-x}  \\
\left( Axe^{x}+Ae^{x}+Ae^{x}+Be^{-x}\right) -\left( Axe^{x}+Ae^{x}-Be^{-x}\right) = \frac{1}{2}e^x- \frac{1}{2}e^{-x}  \\
Ae^{x}+2Be^{-x}\right) = \frac{1}{2}e^x- \frac{1}{2}e^{-x}  \\
A=\frac{1}{2} \wedge B=\frac{-1}{4}

Rozwiązaniem równania jest:
y=C_1+C_2e^x+ \frac{1}{2}xe^x- \frac{1}{4}e^{-x}
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 2 kwi 2018, o 21:11 
Użytkownik

Posty: 4
Lokalizacja: Poznań
Okej.
Wszystko dobrze liczyłem tylko do wzoru podstawiłem y zamiast y'.
Ale teraz wszystko się zgadza.
Dzięki za pomoc :)
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 8 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Równanie różniczkowe  Anonymous  6
 Równanie Hamiltona-Jacobiego  Pikaczu  0
 rownanie linii lancuchowej  bisz  1
 Równanie różniczkowe - zadanie 10  niebieski  0
 równanie różniczkowe Clairauta - zadanie 2  qaz  4
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl