szukanie zaawansowane
 [ Posty: 8 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna
PostNapisane: 17 mar 2018, o 17:48 
Użytkownik

Posty: 8
Lokalizacja: DDA
Niezawodność ogniw jest funkcją czasu

R(t)=2\exp(-Lt)-\exp(-2Lt), t \ge 0 , L=0,0005h^{-1}

Należy obliczyć:
a) funkcje zawodności , b)gęstość prawdopodobieństwa czasu zdatności, c) intensywność uszkodzeń. d) oczekiwany czas zdatności, e) medianę czasu zdatności, f) kwartyle dolny i górne czasu zdatności.
Mógłby mi ktoś pomóc rozwiązać te pkt :) ?
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2019
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 17 mar 2018, o 23:08 
Użytkownik

Posty: 4794
R(t) = 2\exp(-\lambda t) - \exp(-2\lambda t), \ \  t\geq 0, \lambda = 0.0005 h^{-1}.

Pochodna I rzędu funkcji niezawodności R:

R'(t) = -2\lambda \exp(-\lambda t)[1 - \exp(-\lambda t)]< 0,

więc funkcja ta jest ściśle malejąca od 1 w zerze do zera, gdy czas t\rightarrow \infty.

Pochodna II rzędu:

R''(t) = 2\lambda^2\exp(-\lambda t)[1 - 2\exp(-\lambda t)

zmienia znak z ujemnego na dodatni w chwili

t_{0} = \lambda^1 \ln(2)= 0,693\cdot 0.0005^{-1}= 1386 h,

więc funkcja niezawodności ma w tym miejscu punkt przegięcia (proszę wykonać rysunek).

Z przebiegu funkcji niezawodności można wywnioskować, że populacja rozważanych obiektów nie jest jednorodna. Oznacza to, że część ogniw ma krótki czas zdatności 1386 h , pozostałe dużo dłuższy.

Funkcja zawodności:

F(t)  = 1 - 2\exp(-\lambda t) + exp(-2\lambda t).

Obliczona gęstość prawdopodobieństwa czasu zdatności:

f(t) = 2\lambda[\exp(-\lambda t) - exp(-2\lambda t)].

Intensywność uszkodzeń:

\lambda(t) = \frac{2\lambda [ \exp(-\lambda t) - exp(-2\lambda t)]}{2\exp(-\lambda t)- exp(-2\lambda t)} = 2\lambda \cdot \frac{1 - \exp(-\lambda t)}{2 - \exp(-\lambda t)}.

Oczekiwany czas zdatności:

E(T) = \int_{0}^{\infty}[2 \exp(-\lambda t)- \exp(-2\lambda t)]dt = 2\lambda ^{-1}-0.5\lambda^{-1}= 1.5 \lambda^{-1}= 3000 h.

125 dni - przy ciągłym użytkowaniu ogniwa.


Kwantyl rzędu p jest rozwiązaniem równania:

2\exp(-\lambda t_{p}) - \exp(-2\lambda t_{p}) = 1- p.

Kładąc

\exp(-\lambda t_{p})= x,

otrzymujemy:

2x - x^2 = 1- p, \ \ 0\leq x \leq 1.

Stąd

\exp(-\lambda t_{p}) = 1 - \sqrt{p},

t_{p} = -\lambda^{-1}\ln(1 -\sqrt{p}).

Kwartyle:

- dolny:

t_{0.25}= 1386 h \approx 58 dni.

-mediana:

t_{0.5} = 2446 h \approx 102 dni.

-górny:

t_{0.75} = 4020 h = 168 dni.

Proszę praktycznie zinterpretować obliczone charakterystyki liczbowe populacji ogniw.
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 17 mar 2018, o 23:59 
Użytkownik

Posty: 8
Lokalizacja: DDA
W jaki sposób kwartyle zostały obliczone ? Otrzymaliśmy tak jak by funkcje kwadratową ale nie rozumiem skąd potem pojawiło się równanie exp ? I jeszcze jedno pytanie skąd wiemy ile wynosza poszczególne kwartyle ??
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 18 mar 2018, o 12:10 
Użytkownik

Posty: 4794
Z równania kwadratowego za pomocą \Delta i podstawienia x.

albo z równań:

(x^2 -2x +1) = p, \ \  (x-1)^2 =p, \ \ x = 1 - \sqrt{p}, \ \  0 \leq x \leq 1 i podstawienia x.

Z definicji kwartyli.
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 18 mar 2018, o 12:53 
Użytkownik

Posty: 8
Lokalizacja: DDA
janusz47 napisał(a):
Z równania kwadratowego za pomocą \Delta i podstawienia x.

albo z równań:

(x^2 -2x +1) = p, \ \  (x-1)^2 =p, \ \ x = 1 - \sqrt{p}, \ \  0 \leq x \leq 1 i podstawienia x.

Z definicji kwartyli.

No rozumiem i później po wyliczeniu naszej delty wyliczamy nasze x_1 i x_2 i podstawiamy jedno z tych to naszego pierwotnego równania delty ;) ?

-- 18 mar 2018, o 11:57 --

A nie powinno być x^2 +2x -  \frac{1}{2} = 0
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 18 mar 2018, o 16:05 
Użytkownik

Posty: 4794
Nie powinno!

Proszę nauczyć się rozwiązywania równań kwadratowych z wyróżnikiem \Delta >0 i prostych równań wykładniczych!
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 18 mar 2018, o 16:52 
Użytkownik

Posty: 8
Lokalizacja: DDA
janusz47 napisał(a):
Nie powinno!

Proszę nauczyć się rozwiązywania równań kwadratowych z wyróżnikiem \Delta >0 i prostych równań wykładniczych!

Czyli mamy równanie x^2-2x+1 i delta tego równanie wynosi 0 więc mamy 1 miejsce zerowe które wynosi 1.. ?
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 18 mar 2018, o 18:34 
Użytkownik

Posty: 4794
Uwzględniamy jedno x_{1} - z dwóch miejsc zerowych wielomianu:

f(x) = x^2 - 2x + 1 - p

a =1, \ \  b = -2, \ \  c = 1- p,

\Delta = b^2 - 4ac > 0 , \ \ x_{1} = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}, \ \  x_{2} = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a},

które należy do przedziału [0, 1].
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 8 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Jakie jest P, że 2 osoby urodziły się w piątek ?  Zlodiej  2
 Jakie jest prawdopodobieństwo, że szybciej wyciągne kule  Zlodiej  3
 [zadanie] Dany jest zbiór Z={1,2,3...n}  My4tic  4
 Co jest bardziej prawdopodobne ...  fal1  3
 na polce z ksiazkami stoi 8 ksiazek. Oblicz jakie jest...  Anonymous  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl