szukanie zaawansowane
 [ Posty: 4 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna
PostNapisane: 13 mar 2018, o 20:35 
Użytkownik

Posty: 39
Lokalizacja: Polska
Załóżmy że f jest holomorficzna i niestała w \mathbb{C}. Pokazać, że dla każdego a \in \mathbb{C} i każdego \epsilon >0 istnieje z \in \mathbb{C} takie, że |f(z)-a|<\epsilon.

Prawdopodobnie trzeba to udowodnić nie wprost, ale nie wiem jak zacząć.
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2019
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 13 mar 2018, o 20:52 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 3112
Lokalizacja: Radom
Zrób to samo co w poprzednim zadaniu. Musisz jakoś wziąć \frac{1}{f(z) -a} dla pewnego a i poakzać, że jest to funckja calkowitai ograniczona
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 14 mar 2018, o 15:44 
Użytkownik

Posty: 39
Lokalizacja: Polska
Nie mieliśmy jeszcze rozwijania funkcji zmiennej zespolonej w szereg Taylor'a, więc nie wiem jak mam pokazać, że jest całkowita.
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 14 mar 2018, o 15:57 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 13931
Lokalizacja: Wrocław
Nie musisz stosować tu rozwinięcia w szereg Taylora (nie Taylor'a, apostrofy nie są po to, by je wrzucać gdzie popadnie, istnieją jasne reguły związane z ich użyciem), przypuśćmy nie wprost, że dla pewnego a \in \CC istnieje takie \epsilon>0, że dla wszystkich z \in \CC
jest |f(z)-a|\ge \epsilon. Weźmy takie konkretne a i \epsilon. Oczywiście skoro f(z) jest holomorficzna na \CC, to f(z)-a także, ponadto f(z)-a nie ma zer na płaszczyźnie zespolonej, co wynika z nierówności |f(z)-a|\ge \epsilon. Zatem g(z)=\frac{1}{f(z)-a} jest ograniczoną funkcją całkowitą* (ograniczoną, gdyż |g(z)| \le \frac{1}{\epsilon}).

No i dobijasz z twierdzenia Liouville'a, sprzeczność z niestałością f.

*wzór \left( \frac{1}{f(z)}  \right)' =-\frac{f'(z)}{(f(z))^2} (jak i ogólniejszy, związany z pochodną ilorazu) działa wszędzie tam, gdzie f jest różniczkowalna i się nie zeruje. Dowód nie jest trudny.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 4 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Funkcja holomorficzna.  Anonymous  1
 pOchodna zespolona i funkcja analityczna  ewelina2461  2
 dowod, calkowy wzor Cauchyego  Jacek_fizyk  1
 Pokazać, że funkcja jest holomorficzna  KasienkaG  2
 Wykazać, że f(z) nie jest holomorficzna w żadnym punkcie.  MoonW  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl