szukanie zaawansowane
 [ Posty: 2 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna
PostNapisane: 11 mar 2018, o 12:56 
Użytkownik

Posty: 39
Lokalizacja: Polska
Mając f(z)=\frac{1}{z^2+a^2}, a>0, R>a, \Gamma_R jest półokręgiem w "górnej" połówce płaszczyzny (zaczyna się w punkcie R, przechodzi przez iR i kończy w -R).
Pokazać, że \int_{\Gamma_R}f(z)dz \rightarrow 0 gdy R \rightarrow \infty, a następnie obliczyć całkę niewłaściwą \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{z^2+a^2}dz.
Próbowałem to sparametryzować tak \gamma (t) = Rexp(it) gdzie 0<t<\pi ale nie mam pomysłu jak tą całkę dalej rozwiązać. Może da się to jakoś sprytniej rozwiązać.
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2019
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 11 mar 2018, o 23:03 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 13926
Lokalizacja: Wrocław
Nie no, napisałeś poprawną parametryzację, dostajesz w rezultacie taką całkę oznaczoną:
\int_{0}^{\pi}  \frac{iR\exp(it)}{R^2\exp(2it)+a^2} \,\dd t
i nie trzeba jej bezpośrednio liczyć, wystarczy oszacować jej wartość bezwzględną, choćby tak:
\left|\int_{0}^{\pi} \frac{iR\exp(it)}{R^2\exp(2it)+a^2} \,\dd t\right| \le \\ \\ \le  \int_{0}^{\pi}\left| \frac{iR\exp(it)}{R^2\exp(2it)+a^2}\right|\,\dd t=\\= \int_{0}^{\pi} \frac{R}{ \sqrt{\left(a^2+R^2\cos(2t)\right)^2+R^4\sin^2(2t)} } \,\dd t \le \\ \le
 \int_{0}^{\pi} \frac{R}{ \sqrt{R^4+2a^2R^2\cos(2t)+a^4\cos^2(2t)} }\,\dd t=\\= \int_{0}^{\pi} \frac{R}{R^2+a^2\cos(2t)}\,\dd t\le\\ \le  \int_{0}^{\pi}  \frac{R}{R^2-a^2}\,\dd t=\\= \frac{\pi R}{R^2-a^2}
Oczywiście mamy \lim_{R \to +\infty} \frac{\pi R}{R^2-a^2}=0.

Następnie stosujemy twierdzenie o residuach dla funkcji f(z)=\frac{1}{z^2+a^2} i zorientowanej dodatnio krzywej zamkniętej złożonej z takich kawałków: odcinek od -R do R i półokrąg o promieniu R i środku w zerze, łączący R z -R i przechodzący przez iR. Jeśli przez \zeta_R oznaczymy całą tę krzywą, to otrzymujemy z tw. o residuach:
\int_{\zeta_R}^{} f(z)\,\dd z=2\pi i \cdot \mathrm{res}(f, ia)
(punkt -ia nie należy do obszaru ograniczonego przez \zeta_R)
no i to residuum się jakoś łatwo oblicza, gdyż
\frac{1}{z^2+a^2}=\frac{1}{2ia}\left( \frac{1}{z-ia} - \frac{1}{z+ia}\right)

Następnie, korzystając z \lim_{R \to +\infty} \int_{\Gamma_R}f(z)dz=0, gdzie \Gamma_R jak u Ciebie (wynika to z szacowań, które napisałem)
otrzymujemy, że
\frac{\pi}{a}=\int_{\zeta_R}^{}  f(z)\,\dd z=\lim_{R \to +\infty} \int_{\zeta_R}^{}  f(z)\,\dd z= \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{\,\dd z}{z^2+a^2}

-- 11 mar 2018, o 22:05 --

Jakbyś nie rozumiał jakichś przejść czy szacowań, to pisz, postaram się wyjaśnić.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 2 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Całka funkcji zespolonej w kierunku dodatnim  major321  0
 całka analiza zespolona  bobek2010  1
 Całka zespolona - zadanie 48  Madelinee  1
 Całka zespolona - zadanie 49  Last  1
 całka krzywoliniowa - zadanie 150  BaTinka91  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl