szukanie zaawansowane
 [ Posty: 19 ]  Przejdź na stronę 1, 2  Następna strona
Autor Wiadomość
Mężczyzna
PostNapisane: 6 mar 2018, o 23:35 
Użytkownik

Posty: 1094
Lokalizacja: Górnicza Dolina
Znalazłem pewne zadanie, gdzie trzeba rozwiązać równanie różniczkowe z warunkiem początkowym metodą szeregów potęgowych. Mógłby ktoś podać przykład jak takie coś wygląda lub odesłać do odpowiedniego wątku/literatury?
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2019
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 6 mar 2018, o 23:47 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 13931
Lokalizacja: Wrocław
Tu coś znalazłem: https://math.okstate.edu/people/binegar/2233-S99/2233-l24.pdf

Ogólnie mógłbym coś rozwiązać, ale nie podałeś swojego zadania, a nie chce mi się wymyślać przykładu. Generalnie przewidujemy rozwiązanie w postaci szeregu potęgowego, wstawiamy do równania, różniczkując wyraz po wyrazie i szukamy zależności rekurencyjnej na współczynniki tego szeregu, po czym rozwiązujemy rekurencję, wydobywając wzór jawny na te współczynniki.
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 7 mar 2018, o 00:18 
Użytkownik

Posty: 1094
Lokalizacja: Górnicza Dolina
Co jeśli mamy równanie nieliniowe niejednorodne?
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 7 mar 2018, o 00:27 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 13931
Lokalizacja: Wrocław
Pokaż konkretny przykład, to może coś poradzimy. Można wtedy pomyśleć o rozwinięciu także części niejednorodnej w szereg potęgowy i przyrównaniu współczynników, po prostu zależność rekurencyjna może być bardziej skomplikowana.

Np.
y''+y'+y=xe^x (to można by to pewnie zrobić metodą przewidywań albo uzmienniania stałej, ale już mniejsza z tym) z jakimiś tam warunkami początkowymi, przewidujemy y(x)= \sum_{n=0}^{ \infty } a_n x^n i rozwijamy też xe^x= \sum_{n=1}^{+\infty}  \frac{x^n}{(n-1)!}, no i przyrównujemy współczynniki przy odpowiednich potęgach.

-- 6 mar 2018, o 23:29 --

Aczkolwiek rekurencje niejednorodne rozwiązuje się metodami analogicznymi do metody przewidywań i metody uzmienniania stałej (wariacji parametru), więc jeśli przykład nie jest jakoś szczególnie dobrany, to przy równaniach niejednorodnych ta metoda [tj. metoda szeregów potęgowych] jest niezbyt opłacalna.
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 7 mar 2018, o 00:30 
Użytkownik

Posty: 1094
Lokalizacja: Górnicza Dolina
Zastąp y:=y^2. Chyba się trochę skomplikuje.
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 7 mar 2018, o 00:37 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 13931
Lokalizacja: Wrocław
Nie tyle trochę się komplikuje, co bardzo wątpię, by metoda szeregów potęgowych miała tu zastosowanie.
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 7 mar 2018, o 00:38 
Użytkownik

Posty: 1094
Lokalizacja: Górnicza Dolina
Takie mam polecenie. :D
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 7 mar 2018, o 00:42 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 13931
Lokalizacja: Wrocław
Podaj pełną treść, może jest jakiś punkt zaczepienia.

Może trochę przesadziłem, jako taka ta metoda może działać teoretycznie, ale rachunki mogą być nie do przeprowadzenia dla zwykłych ludzi.
Jak wystąpi y^2, to do akcji wchodzi iloczyn Cauchy'ego szeregów i robi się na pierwszy rzut oka naprawdę nieciekawie.
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 7 mar 2018, o 00:46 
Użytkownik

Posty: 1094
Lokalizacja: Górnicza Dolina
No właśnie chciałem wcisnąć ten szereg Cauchy'ego i coś pogrupować, ale chyba nie bardzo będzie co.
y'=x^2-y^2, y(0)=0
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 7 mar 2018, o 01:04 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 13931
Lokalizacja: Wrocław
y(x)= \sum_{n=0}^{ \infty } a_n x^n\\ y'(x)= \sum_{n=0}^{ \infty }(n+1)a_{n+1} x^n\\y^2= \sum_{n=0}^{+\infty} \left(\sum_{k=0}^{n}a_k a_{n-k}\right)x^n
i dostajemy coś takiego:
a_0=0 oraz
(n+1)a_{n+1}=- \sum_{k=0}^{n}a_k a_{n-k} dla n=1 oraz n=3,4\ldots
natomiast
3a_3=1-\sum_{k=0}^{2}a_k a_{n-k}=1-a_1^2

W tej chwili nie widzę jakiegoś oczywistego rozwiązania;
korzystając z tych zależności, które wypisałem, rozpisz sobie parę wyrazów dla niedużych n i zastanów się, czy widzisz w tym jakiś zarys wzoru, a potem jeśli tak, to udowodnij prawdziwość wzoru na współczynniki indukcyjnie.
Jak zjem mocno spóźnioną kolację, to może chwilę jeszcze nad tym się zastanowię.
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 7 mar 2018, o 01:07 
Użytkownik

Posty: 1094
Lokalizacja: Górnicza Dolina
Ok to na razie pobawię się tym. Dzięki.

Cytuj:
3a_3=1-\sum_{k=0}^{2}a_k a_{n-k}=1-a_1^2


Btw. skąd ta 1?
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 7 mar 2018, o 01:29 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 13931
Lokalizacja: Wrocław
Stąd, że masz x^2 po prawej stronie równania. Cała ta rekurencja wzięła się z porównania współczynników przy x^n (to się wiąże z jednoznacznością rozwinięcia w szereg potęgowy wokół ustalonego punktu), no to x^2=1\cdot x^2 i dla n=2 będzie
3a_3 x^2=x^2- \sum_{k=0}^{2}a_k a_{n-k}x^2
czyli
3a_3=1-\sum_{k=0}^{2}a_k a_{n-k}
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 7 mar 2018, o 01:33 
Użytkownik

Posty: 1094
Lokalizacja: Górnicza Dolina
Ok, bo myślałem, że Ty zapisałeś samo równanie jednorodne.
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 7 mar 2018, o 03:11 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 13931
Lokalizacja: Wrocław
Dobra, początek semestru, pracy na tę chwilę nie mam, życia towarzyskiego nie prowadzę, to sobie siądę i spróbuję to przeliczyć:
a_0=0 z warunku początkowego, a dalej korzystając z: (n+1)a_{n+1}=- \sum_{k=0}^{n}a_k a_{n-k} mam
a_1=-a_0^2=0, \\ 2a_2=0 \Leftrightarrow a_2=0, dalej
3a_3=1-\text{suma zer hehe}, czyli a_3=\frac 1 3, potem
dość łatwo zauważyć, że następne wyrazy się zerują, aż po a_6, bo
już 7a_7=- \sum_{k=0}^{6} a_k a_{6-k}=-a_3^2=-\frac{1}{9}, czyli a_7=-\frac{1}{63}.
Potem kolejnym niezerowym będzie a_{11}, bo 3+7=10=11-1 i
11a_{11}=-a_3 a_7, czyli a_{11}=\frac{1}{11\cdot 189}.
Ale syf. Na jakich studiach i przedmiocie to dostałeś, jeśli można spytać?

Na poprawę nastroju: https://www.wolframalpha.com/input/?i=y ... %5E2-y%5E2
:mrgreen:
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 7 mar 2018, o 09:08 
Użytkownik

Posty: 1094
Lokalizacja: Górnicza Dolina
Na elektrotechnice, równania różniczkowe. WolframAlpha ogarnąłem wcześniej. :D

PS. Matma wraz z probalem powraca. If you know what I mean.

PS2. Czy a_{11} nie będzie przypadkiem 2 razy większe?
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 19 ]  Przejdź na stronę 1, 2  Następna strona


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Metoda szeregów potęgowych - zadanie 4  omicron  2
 Metoda szeregów potęgowych - zadanie 2  Jacol  1
 metoda szeregów potęgowych  xtremalny  1
 Metoda szeregów potęgowych - zadanie 3  andsze1  1
 Różniczka metodą uzmienniania  alek26  0
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl