szukanie zaawansowane
 [ Posty: 4 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna
PostNapisane: 3 mar 2018, o 17:32 
Użytkownik

Posty: 5
Lokalizacja: Warszawa
Prosiłbym o pomoc w rozwiązaniu zadania którego treść brzmi następująco:
Znajdź rozwiązanie szczególne jednorodnego, liniowego równania różniczkowego o stałych współczynnikach jeżeli znane są jego wartości własne s_1,s_2,s_3 oraz warunki początkowe:

y(0)= x{_0}
\frac{dx}{dt}=0 przy t=0,

\frac{d^{2}x}{dt^{2}}=0 przy t=0.

Będę wdzięczny za każde sugestię na temat sposobu rozwiązania tego zadania
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2019
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 3 mar 2018, o 20:31 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 13931
Lokalizacja: Wrocław
Rozwiązanie ogólne tego równania jest więc postaci
x(t)=C_1 \cdot e^{s_1 t}+C_2\cdot e^{s_2 t}+C_3\cdot e^{s_3 t}
gdzie C_1, \ C_2, \ C_3 to stałe i wystarczy podstawić taką funkcję do warunków początkowych, co da nam układ trzech prostych równań z niewiadomymi C_1, \ C_2, \ C_3.

Ewentualnie jeśli np. s_1=s_2, to trochę inaczej wygląda rozwiązanie ogólne, ale nie jestem pewien, czy należy rozważać i taką sytuację.
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 13 mar 2018, o 20:58 
Użytkownik

Posty: 5
Lokalizacja: Warszawa
równanie różniczkowe ma postać
a \cdot y'''+b \cdot  y''+c \cdot y'+dy=0

y(0)= x_{0}

y'(0)=0

y''(0)=0

r_{1}= s_{1}

r_{2}= s_{2}

r_{3}= s_{3}
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 13 mar 2018, o 22:21 
Użytkownik

Posty: 4787
Zakładamy, że s_{1}\neq s_{2}\neq s_{3}.

Uwzględniając warunki początkowe, otrzymujemy układ równań na C_{1}, C_{2}, C_{3}.

\begin{cases}C_{1}+C_{2}+C_{3}= x_{0}\\ 
s_{1}C_{1}+s_{2}C_{2}+s_{3}C_{3} = 0 \\
s^2_{1}C_{1}+s^2_{2}C_{2} + s^2_{3}C_{3}=0 \end{cases}.

Proszę wyznaczyć rozwiązanie układu stosując wzory Cramera i wstawić do rozwiązania ogólnego podanego przez Premislava.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 4 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Równanie różniczkowe  Anonymous  6
 Równanie Hamiltona-Jacobiego  Pikaczu  0
 rownanie linii lancuchowej  bisz  1
 Równanie różniczkowe - zadanie 10  niebieski  0
 równanie różniczkowe Clairauta - zadanie 2  qaz  4
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl