szukanie zaawansowane
 [ Posty: 8 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna
PostNapisane: 22 lut 2018, o 14:48 
Użytkownik

Posty: 39
Lokalizacja: Polska
Pokazać, że nie istnieje funkcja holomorficzna F:\mathbb{C} \setminus \{0\} \rightarrow \mathbb{C} taka, że F'(z) = \frac{1}{z} dla każdego niezerowego z \in \mathbb{C}. Następnie wywnioskować, że nie istnieje funkcja g:\mathbb{C} \setminus \{0\} \rightarrow \mathbb{C} taka, że \exp (g(z)) = z dla każdego niezerowego z \in \mathbb{C}.

Nie mam pojęcia jak się do tego zabrać, więc każda pomoc się przyda.
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2019
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 22 lut 2018, o 16:43 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 3111
Lokalizacja: Radom
W pierwszym podpunkcie. SPrawdz ile wynosi calka z funkcji \frac{1}{z} po okręgu wokół zera.
Ile musiałaby wynosić ta całka, gdyby taka funkcja istniała?

W drugim zróżniczkuj exp(g(z)) i zobacz ile wynosi pochodna g^'(z)
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 23 lut 2018, o 12:33 
Użytkownik

Posty: 39
Lokalizacja: Polska
Całka z \frac{1}{z} po okręgu (niezależnie od promienia okręgu) wyszła mi 2\pi i, ale nie mam pojęcia ile "powinna" wynosić.
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 23 lut 2018, o 12:50 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 13926
Lokalizacja: Wrocław
Gdyby taka funkcja pierwotna istniała, to całka z \frac{1}{z} po okręgu o środku w zerze powinna być równa zero, no a nie jest.
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 23 lut 2018, o 13:05 
Użytkownik

Posty: 39
Lokalizacja: Polska
Rozumiem. Co do drugiego pytania to pochodna g'(z) wyszła mi po prostu \frac{1}{\exp(g(z))} ale nie bardzo widzę, jak skorzystać z pierwszego zadania żeby coś tutaj zdziałać.
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 23 lut 2018, o 14:09 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 3111
Lokalizacja: Radom
To wpatrz się intensywnie w treść drugiego podpunktu i zamień \frac{1}{\exp(g(z))} na coś bardziej związanego z podpunktem 1)
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 23 lut 2018, o 14:33 
Użytkownik

Posty: 39
Lokalizacja: Polska
Zauważyłem, że jeżeli za g(z) położymy \log(z) to dostaniemy to co w 1). Czyli nie istnieje całka z logarytmu. O to chodzi?
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 23 lut 2018, o 15:43 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 3111
Lokalizacja: Radom
A dlaczego za dowolną funkcję g miałbyś podstawiać jakiś logarytm?
Zauważ, że g ma być olreślona na wszytskich liczbach zespolonych oprócz zera.
Skorzystaj z założenia, że \exp(g(z)) =z
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 8 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 funkcja holomorficzna - zadanie 8  dlawolfram1  1
 Funkcja holomorficzna - zadanie 9  averos  1
 funkcja holomorficzna - zadanie 10  Turbo100  8
 Funkcja holomorficzna - zadanie 11  wiwnes691  3
 Funkcja holomorficzna - zadanie 12  leg14  7
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl