szukanie zaawansowane
 [ Posty: 2 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 17 lut 2018, o 20:42 
Użytkownik

Posty: 5772
Lokalizacja: Kraków
Rozwiązywanie równań funkcyjnych - przykłady (x 7)



Zadanie
Rozwiązać równanie funkcyjne f left( xf left( y 
ight) +x 
ight) = xy + f left( x 
ight) .

Rozwiązanie
Jeśli x=1, to f left( f left( y 
ight) + 1 
ight) = y+ f left( 1 
ight) dla y in RR, tj. f jest odwzorowaniem „na”, czyli istnieje x_0 takie, że f left( x_0 
ight) = -1.

Jeśli więc y=x_0, to f left( 0 
ight) = xx_0 + f left( x 
ight) tj. f jest funkcją liniową. Podstawiając f left( x 
ight) = ax+b do wyjściowego równania mamy rozwiązania: f left( x 
ight) = x lub f left( x 
ight) = -x.


Zadanie
Wyznaczyć wszystkie funkcje f: Z 	o Z takie, że 19f left( x 
ight) - 17f left( f left( x 
ight) 
ight) = 2x, gdy x in Z.

Rozwiązanie
Jeśli g left( x 
ight) = x - f left( x 
ight), to g left( f left( x 
ight) 
ight) = frac{2}{17}g left( x 
ight). tj.

17^n g left( f^{ left( n 
ight) } left( x 
ight) 
ight) =2^n g left( x 
ight) dla n=1,2,3,…; (indukcyjnie) przy czym f^{ left( n 
ight) } = underbrace{f circ ldots circ f}_{n}.

Stąd g left( x 
ight) =0 (jeśli g left( f^{ left( n 
ight) } left( x 
ight) 
ight) =0, to g left( x 
ight) =0 ). Zatem f left( x 
ight) =x jest jedynym rozwiązaniem.

Uwagi: Jeśli to samo równanie rozważyć dla funkcji rzeczywistej (tj. o dziedzinie RR) to istnieje też inne rozwiązanie: f left( x 
ight) = - frac{2}{17}x


Zadanie
Udowodnić, że jeśli f: RR 	o RR spełnia równanie f left( x-1 
ight) + f left( x+1 
ight) = sqrt{2}f left( x 
ight) dla x in RR, to jest okresowa.

Rozwiązanie
Mnożąc równanie przez sqrt{2} mamy sqrt{2}f left( x-1 
ight) + sqrt{2}f left( x+1 
ight) = 2f left( x 
ight), czyli
f left( x-2 
ight) + f left( x 
ight) + f left( x 
ight) + f left( x+2 
ight) = 2f left( x 
ight)
tj.
(*) f left( x-2 
ight) =- f left( x+2 
ight) .

Z tego zaś wynika, że f jest okresowa i ma okres s= 8, gdyż f left( x+2 
ight) =-f left( x+6 
ight) .


Zadanie
Wyznaczyć funkcję f: left left( -1, +infty 
ight 
ight) 	o RR taką, że 1+f left( x 
ight) = f left( frac{-x}{x+1} 
ight) dla x 
eq 0.

Rozwiązanie
Taka funkcja f nie istnieje. Jeśli bowiem x>-1 to frac{-x}{x+1} = -1+ frac{1}{x+1} >-1 oraz frac{ - frac{-x}{x+1}}{frac{-x}{x+1} +1} =x,to 1+ f left( frac{-x}{x+1} 
ight) = f left( x 
ight) tj. sprzeczność.


Do rozwiązywania samemu

Zadanie
Wyznaczyć funkcje różnowartościowe, dla których f left( f left( x 
ight) + y 
ight) = f left( x+y 
ight) +1 jeśli x, y in RR.

Zadanie
Dla jakich wielomianów P i Q zachodzi równość P left( Q left( x 
ight) 
ight) = Q left( P left( x 
ight) 
ight) dla x in RR ?

Zadanie
Czy istnieje funkcja f : NN 	o NN taka, że f left( f left( n 
ight) 
ight) = n+1 dla n in NN ?


Źródło podstawowe: Titu Andreescu - Functional equations

Ukryta treść:    
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2019
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 17 lut 2018, o 20:59 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 18593
Lokalizacja: Cieszyn
Jest jeszcze ta książka - coś w rodzaju klasyka.

http://www.springer.com/gp/book/9780387345345
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 2 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Rozwiązywanie równań z wartością bezwzględną - zadanie 2  loitzl9006  0
 Liczby zespolone- rozwiązywanie nierówności i równości  Anonymous  0
 układ równań drugiego stopnia  Tuudi  2
 Szybki sposób na rozwiązanie równań  VillagerMTV  7
 Czym rozwiązać następujący układ równań - wzór z normy.  jarzynekk  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl