szukanie zaawansowane
 [ Posty: 7 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna
PostNapisane: 15 lut 2018, o 23:19 
Użytkownik

Posty: 125
Lokalizacja: Poznań
4x^{2}y'' + 8y' + y = 0

Ktoś ma pomysł jak to ruszyć?
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2019
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 15 lut 2018, o 23:55 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 13931
Lokalizacja: Wrocław
Ja nie pamiętam, jak się rozwiązuje coś takiego, ale przewidziałbym rozwiązanie w postaci szeregu potęgowego.
Niech y(x)= \sum_{n=0}^{+\infty} a_n \ x^n. Różniczkując wyraz po wyrazie, otrzymujemy:
y''(x)= \sum_{n=2}^{+\infty}n(n-1)a_nx^{n-2}\\ y'(x)= \sum_{n=1}^{+\infty}na_nx^{n-1}
i po wstawieniu tego do równania otrzymujemy:
4 \sum_{n=2}^{+\infty}n(n-1)a_n x^n+8 \sum_{n=1}^{+\infty}na_n x^{n-1}+ \sum_{n=0}^{+\infty}a_n x^n   =0

Stąd mamy: 8a_1+a_0=0, \ 16a_2+a_1=0 oraz
4n(n-1)a_n+8(n+1)a_{n+1}+a_n=0 dla n\ge 2, a z tego ostatniego:
a_{n+1}=- \frac{(2n-1)^2}{8(n+1)} a_n
O ile się nie rąbnąłem w rachunkach, stąd można wyznaczyć a_n w zależności od a_0, ale po pierwsze te współczynniki na pierwszy rzut oka niczego nie przypominają (w sensie rozwinięcia jakiejś sensownej funkcji w szereg Maclaurina), zaś po drugie to tylko rozwiązanie szczególne. Przestrzeń rozwiązań jest tu dwuwymiarowa, a to przewidywanie daje tylko jeden wymiar (chyba że się rąbnąłem w różniczkowaniu).
Góra
Kobieta
PostNapisane: 16 lut 2018, o 00:21 
Użytkownik

Posty: 389
Lokalizacja: Kutno
Rozwiązania poszukujemy w postaci:
y(x)= e^{sx}
Obliczamy pochodne i wstawiamy do równania.
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 16 lut 2018, o 00:32 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 13931
Lokalizacja: Wrocław
Ta metoda jest dobra dla równań o stałych współczynnikach, ponieważ pozwala sprowadzić problem rozwiązania równania różniczkowego do rozwiązania równania algebraicznego. Tutaj to podejście nie zadziała, gdyż przeszkadza to 4x^2.

Teraz patrzę, że wolfram tego nie rozwiązuje, więc pewnie ja tym bardziej nie zwinąłbym sensownie tego szeregu. Pozostają pewnie metody numeryczne.
Góra
Kobieta
PostNapisane: 16 lut 2018, o 00:33 
Użytkownik

Posty: 389
Lokalizacja: Kutno
Racja - nie zauważyłam, że jest x
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 16 lut 2018, o 00:49 
Użytkownik

Posty: 1094
Lokalizacja: Górnicza Dolina
Premislav napisał(a):
Ta metoda jest dobra dla równań o stałych współczynnikach, ponieważ pozwala sprowadzić problem rozwiązania równania różniczkowego do rozwiązania równania algebraicznego. Tutaj to podejście nie zadziała, gdyż przeszkadza to 4x^2.

Teraz patrzę, że wolfram tego nie rozwiązuje, więc pewnie ja tym bardziej nie zwinąłbym sensownie tego szeregu. Pozostają pewnie metody numeryczne.


Mi pokazał "ładny" wynik.
https://www.wolframalpha.com/input/?i=4 ... 27%2By%3D0
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 16 lut 2018, o 00:51 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 13931
Lokalizacja: Wrocław
O, to bardzo dziwne, bo tak samo wpisywałem.
No ale funkcje Bessela czy G-funkcja Meijera to trochę nie mój poziom. :D
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 7 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Rozwiąż równanie - zadanie 113  pumas  2
 Rozwiąż równanie - zadanie 203  blueangel  1
 Rozwiaz rownanie - zadanie 59  anzej  1
 rozwiaz rownanie - zadanie 61  gufox  1
 rozwiąż równanie - zadanie 496  natkoza  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl