szukanie zaawansowane
 [ Posty: 11 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 12 lut 2018, o 15:02 
Użytkownik

Posty: 487
Lokalizacja: Warszawa
Odwzorowanie: f: \ZZ  \rightarrow \CC^* jest dane względem f(n) = \cos \frac{n \pi}{5} + i \sin  \frac{n \pi}{5}.
a) Sprawdzić, że f jest homomorfizmem z (\ZZ, +) do (\CC^*, \cdot),
b) Wyznaczyć \ker f
c) Z jaką grupą jest izomorficzna grupa \ZZ/\ker f?

Rozwiązanie:
a) Niech n, a \in \ZZ

f(n + a) = \cos \frac{n \pi}{5} + i \sin  \frac{n \pi}{5} + \cos \frac{a \pi}{5} + i \sin  \frac{a \pi}{5} = \cos \frac{n \pi}{5}  + \cos \frac{a \pi}{5} +\\ i (\sin  \frac{n \pi}{5} +  \sin  \frac{a \pi}{5}) = \dots
Myślałem, żeby skorzystać z tożsamości trygonometrycznych, ale wtedy jakoś nie mogłem za nic dojść do wyniku. Nie mam więcej pomysłów.

b)
0 i 10k, gdzie k \in \NN
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2019
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 12 lut 2018, o 15:09 
Użytkownik

Posty: 16538
Lokalizacja: Bydgoszcz
Rozbitek napisał(a):
Odwzorowanie: f: \ZZ  \rightarrow \CC^* jest dane względem f(n) = \cos \frac{n \pi}{5} + i \sin  \frac{n \pi}{5}.
a) Sprawdzić, że f jest homomorfizmem z (\ZZ, +) do (\CC^*, \cdot),
b) Wyznaczyć \ker f
c) Z jaką grupą jest izomorficzna grupa \ZZ/\ker f?

Rozwiązanie:
a) Niech n, a \in \ZZ

f(n + a) = \cos \frac{n \pi}{5} + i \sin  \frac{n \pi}{5} + \cos \frac{a \pi}{5} + i \sin  \frac{a \pi}{5} = \cos \frac{n \pi}{5}  + \cos \frac{a \pi}{5} +\\ i (\sin  \frac{n \pi}{5} +  \sin  \frac{a \pi}{5}) = \dots


Działaniem w \CC jest mnożenie a nie dodawanie. Wzory trygonometryczne się przydadzą.

Cytuj:
Myślałem, żeby skorzystać z tożsamości trygonometrycznych, ale wtedy jakoś nie mogłem za nic dojść do wyniku. Nie mam więcej pomysłów.

b)
0 i 10k, gdzie k \in \NN


Nie k\in\NN tylko n\in\ZZ
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 12 lut 2018, o 18:40 
Użytkownik

Posty: 487
Lokalizacja: Warszawa
f(n + a) = \left( \cos \frac{n \pi}{5} + i \sin  \frac{n \pi}{5}\right)  \cdot (\cos \frac{a \pi}{5} + i \sin  \frac{a \pi}{5}) = \cos \frac{n \pi}{5}\cos \frac{a \pi}{5} + \cos \frac{n \pi}{5} i \sin  \frac{a \pi}{5} + i \sin  \frac{n \pi}{5}\cos \frac{a \pi}{5} - \sin \frac{n \pi}{5}\sin \frac{a \pi}{5} =  \frac{\cos  \frac{(n-a) \pi}{5} + \cos  \frac{(n+a) \pi}{5}}{2} + \cos \frac{n \pi}{5} i \sin  \frac{a \pi}{5} + i \sin  \frac{n \pi}{5}\cos \frac{a \pi}{5} -  \frac{\frac{\cos(n-a) \pi}{5} - \cos  \frac{(n+a) \pi}{5}}{2}
Skorzystałem wyżej ze wzorów na iloczyn cosinsów i iloczyn sinusów. Dalej porządkuję algebraicznie:

\dots = \cos  \frac{(n+a) \pi}{5} + \cos \frac{n \pi}{5} i \sin  \frac{a \pi}{5} + i \sin  \frac{n \pi}{5}\cos \frac{a \pi}{5}
a dalej nie pociągnę :/

b) W takim razie 0 i 10n?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 12 lut 2018, o 19:07 
Użytkownik

Posty: 16538
Lokalizacja: Bydgoszcz
Pogrupuj część rzeczywistą i urojoną po trzecim znaku rónośći. Może dostrzeżesz wzory na kosinus i sinus sumy?

A może będzie łatwiej, jak zapiszesz f(n)=e^{\frac{n\pi}{5}i} ?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 12 lut 2018, o 21:38 
Użytkownik

Posty: 487
Lokalizacja: Warszawa
\frac{\cos  \frac{(n-a) \pi}{5} + \cos  \frac{(n+a) \pi}{5}}{2} + \cos \frac{n \pi}{5} i \sin  \frac{a \pi}{5} + i \sin  \frac{n \pi}{5}\cos \frac{a \pi}{5} -  \frac{\frac{\cos(n-a) \pi}{5} - \cos  \frac{(n+a) \pi}{5}}{2} = \frac{\cos  \frac{(n-a) \pi}{5} + \cos  \frac{(n+a) \pi}{5}}{2} -  \frac{\frac{\cos(n-a) \pi}{5} - \cos  \frac{(n+a) \pi}{5}}{2} + i(\cos \frac{n \pi}{5}  \sin  \frac{a \pi}{5} +  \sin  \frac{n \pi}{5}\cos \frac{a \pi}{5})

Ja bym tą część rzeczywistą skrócił tak jak to zrobiłem wcześniej.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 12 lut 2018, o 22:07 
Użytkownik

Posty: 16538
Lokalizacja: Bydgoszcz
=\cos \frac{n \pi}{5}\cos \frac{a \pi}{5} + \cos \frac{n \pi}{5} i \sin \frac{a \pi}{5} + i \sin \frac{n \pi}{5}\cos \frac{a \pi}{5} - \sin \frac{n \pi}{5}\sin \frac{a \pi}{5}\\
={\red \cos \frac{n \pi}{5}\cos \frac{a \pi}{5} - \sin \frac{n \pi}{5}\sin \frac{a \pi}{5}}\\
+i\left[{\blue \sin \frac{n \pi}{5}\cos \frac{a \pi}{5}+\cos \frac{n \pi}{5}  \sin \frac{a \pi}{5}}\right]
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 13 lut 2018, o 01:01 
Użytkownik

Posty: 487
Lokalizacja: Warszawa
Ahh, to wcześniej...

Na mój gust nie zrobi się tu nic więcej poza:
= \cos  \frac{(n+a) \pi}{5} + i(\sin\frac{(n+a) \pi}{5}),

ale chyba nie trzeba nic robić, bo o to chodziło, jak tak patrzę?

b) \ker(f) = \left\{ 10k: k \in \ZZ \right\} wtedy przejdzie przez zero też w sumie.

c) z a) odwzorowanie jest homomorfizmem.
Gorzej z wykazaniem surjektywności, widzę, że tak jest, ale jak to udowodnić formalnie, to nwm.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 13 lut 2018, o 05:31 
Użytkownik

Posty: 16538
Lokalizacja: Bydgoszcz
Surjektywność??? Z \ZZ na \CC?
Chyba żartujesz.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 13 lut 2018, o 13:35 
Użytkownik

Posty: 487
Lokalizacja: Warszawa
To jak mam wyznaczyć grupę izomorficzną? Skoro nie ma tu bijekcji?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 13 lut 2018, o 13:37 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 13709
Lokalizacja: Wrocław
Masz zastosować zasadnicze twierdzenie o homomorfizmie grup.

-- 13 lut 2018, o 12:39 --

Generalnie to, że chciałeś wykazać istnienie surjekcji z \ZZ na \CC, wystawia bardzo złe świadectwo Twojej uczelni, bo przed algebrą jest wstęp do matematyki, i jak ktoś nie wie, że \ZZ i \CC nie są równoliczne, to albo się go uwala, albo się go tego uczy.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 13 lut 2018, o 14:50 
Użytkownik

Posty: 487
Lokalizacja: Warszawa
Jak o kimś źle świadczy, to o mnie.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 11 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Homomorfizm grup, izomorfizm pierścieni  Ujemny  2
 homomorfizm macierzy  misiekprezes  2
 Homomorfizm grup - zadanie 26  michcior  1
 homomorfizm i izomorfizm grup - zadanie 2  forgottenhopes  10
 Homomorfizm grup - zadanie 18  nmmjm93  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl