szukanie zaawansowane
 [ Posty: 2 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna
PostNapisane: 6 lut 2018, o 22:08 
Użytkownik

Posty: 2
Lokalizacja: Waw
Dany jest system dynamiczny x'=x\sin x. Wyznaczyć jego punkty równowagi za pomocą I metody Lapunowa oraz zbadać ich stabilność.
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 7 lut 2018, o 00:14 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 69
Lokalizacja: Kraków
Domyślam się, że chodzi o pewien układ elektroniczny, w którym przepływ prądu może być opisany pewną funkcją sinusoidalną i traktowany jest jako układ dynamiczny. Bedę rozpatrywał go w funkcji czasu, ale rozwiązanie powinno być ogólne.

Dany jest układ dynamiczny:

x'(t)=x(t)\sin(x(t))
lub
\frac{dx}{dt} =x\sin(x)

Poszukujemy punktów równowagi tego układu oraz określenia ich stabilności.

Równanie układu jest:
- równaniem rzędu pierwszego (ponieważ mamy pochodną pierwszego rzędu x'),
- równaniem o schemacie jawnym (ponieważ przed pochodną x' nie stoi żadne wyrażenie),
- równaniem nieliniowym (ponieważ nie można go zapisać w postaci f(x)=ax+b),
- równaniem zwyczajnym (ponieważ nie mamy pochodnych cząstkowych),
- równaniem różniczkowym (ponieważ zawiera pochodną).

Podsumowując: nieliniowe równanie różniczkowe zwyczajne pierwszego rzędu.

W celu rozwiązania równania różniczkowego, poszukujemy funkcji x(t), która spełnia to równanie dla wszystkich t.

Punkt oznaczony x ^{*} dla którego x=0 nazywany jest punktem równowagi( inaczej punkt stacjonarny lub krytyczny) dla naszego równania różniczkowego, gdyż \frac{dx}{dt}=0 oraz x= x_{0} dla wszystkich t (gdzie x_{0} to warunek początkowy, czyli wartość x dla t=0).

Równania nieliniowe mogę nie mieć, mieć jedno, wiele lub nawet nieskończenie wiele punktów równowagi.

Szukamy punktów równowagi:

\frac{dx}{dt} =0
x\sin(x)=0
x^{*} } =0 lub x^{*} =k \pi, k \in \mathbb{Z}

Mamy nieskończenie wiele punktów równowagi. Punkt równowagi jest stabilny, gdy x'<0 lub niestabilny, gdy x'>0 dla danego x= x^{*}.

W rezultacie:
Punkt równowagi x^{*} =0 jest niestabilny.
Pozostałe punkty równowagi dla x^{*} =k \pi, k \in \mathbb{Z} dla n nieparzystego są stabilne, a dla n parzystego są niestabilne.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 2 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Transmitancja zastępcza układu.  mtbchn  1
 opór zastępczy układu - zadanie 3  kalwi  7
 Transmitancja układu z dwoma wzmacniaczami.  szuchasek  1
 Transmitancja zastępcza układu  gizus  1
 Oblicz admitancję podanego układu  uczen23  3
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl