szukanie zaawansowane
 [ Posty: 12 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna
PostNapisane: 1 lut 2018, o 16:01 
Użytkownik

Posty: 8
Lokalizacja: Polska
Mam równanie:

H \int_{0}^{H}{\eta(z)^2\: dz} - \left(\int_{0}^{H}{\eta(z)\: dz}\right)^2 = 0

Pytanie brzmi jak poszukiwać funkcji \eta(z) które spełniają to równanie? I czy to w ogóle możliwe? Na razie mam jedno trywialne rozwiązanie \eta(z)=const .

Pozdrawiam.
Marek
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2019
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 1 lut 2018, o 18:40 
Użytkownik

Posty: 16621
Lokalizacja: Bydgoszcz
A H to stała, czy zmienna?
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 1 lut 2018, o 21:03 
Użytkownik

Posty: 8
Lokalizacja: Polska
H \in (0, \infty)
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 2 lut 2018, o 13:48 
Gość Specjalny

Posty: 5968
Lokalizacja: Toruń
Załóżmy, że \eta \geq 0 . Zauważ, że z nierówności Holdera (lub z Jensena - jak kto woli) mamy:
\left( \int_0^H \eta(z) \, dz \right)^2 \leq H \int_0^H \eta(z)^2 \, dz
Czyli:
0 = H \int_{0}^{H}{\eta(z)^2\, dz} - \left(\int_{0}^{H}{\eta(z)\, dz}\right)^2 \geq H \int_{0}^{H}{\eta(z)^2\, dz} - H \int_0^H \eta(z)^2 \, dz = 0
Czyli w nierówności Holdera musi zachodzić równość, czyli gdy funkcje \eta i stała są liniowo zależne, czyli \eta jest stała.

Nie wiem, jak przeprowadzić to rozumowanie dla \eta , która mogłaby przyjmować wartości ujemne.
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 2 lut 2018, o 16:38 
Użytkownik

Posty: 8
Lokalizacja: Polska
Hej, Dziękuje za odpowiedź, proszę jednak o objaśnienia. :) Z nierówności Holdera, tak jak to jest opisane na Wikipedii (https://en.wikipedia.org/wiki/H%C3%B6ld ... ue_measure), przy przyjęciu f(x)=g(x)=\eta(x) \geq 0 , wychodzi mi raczej nierówność:

\left( \int_0^H \eta(z) \, dz \right)^2 \geq \int_0^H \eta(z)^2 \, dz

Jak uzasadniasz zmianę kierunku nierówności i przejście do całkowania od 0 do 1 ?

Pozdrawiam.
Marek
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 2 lut 2018, o 17:50 
Użytkownik

Posty: 16621
Lokalizacja: Bydgoszcz
\eta(z)=1\cdot\eta(z) i teraz Holder
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 2 lut 2018, o 18:20 
Gość Specjalny

Posty: 5968
Lokalizacja: Toruń
mwojc napisał(a):
Jak uzasadniasz zmianę kierunku nierówności i przejście do całkowania od 0 do 1 ?

Natomiast to była literówka -- powinno być od 0 do H.
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 2 lut 2018, o 22:51 
Użytkownik

Posty: 8
Lokalizacja: Polska
Niestety nadal tego nie widzę. Jeżeli \eta(z)=1\cdot\eta(z) , czyli jak rozumiem f(z)=1,\ g(z)=\eta(z) , to mi wychodzi:

H \int_0^H \eta(z) \, dz \geq \int_0^H \eta(z) \, dz

Jest to samo w sobie jest dziwne, bo to by oznaczało, że musi być spełnione H\geq 1 , a niby dlaczego?

Nawet jeżeli pogodzę się z tym wynikiem i pomnożę go stronami przez \int_0^H \eta(z) \, dz , zaś mój poprzedni wynik dla f(z)=g(z)=\eta(z) pomnożę stronami przez H to otrzymam dwie nierówności:

H \left(\int_0^H \eta(z) \, dz \right)^2 \geq \left(\int_0^H \eta(z) \, dz\right)^2
H \left(\int_0^H \eta(z) \, dz \right)^2 \geq H\int_0^H \eta(z)^2 \, dz

z których nadal raczej nie wynika Twój wynik. I nie mam już pomysłu...

Pozdrawiam.
Marek
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 3 lut 2018, o 09:33 
Gość Specjalny

Posty: 5968
Lokalizacja: Toruń
\int_0^H \eta(z) \, dz \leq \left( \int_0^H 1 \, dz \right)^{1/2} \left( \int_0^H \eta(z)^2 \, dz \right)^{1/2}
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 3 lut 2018, o 14:40 
Użytkownik

Posty: 8
Lokalizacja: Polska
No jasne! :) Dziękuję.

W takim razie mam uzasadnienie, że \eta(z) musi być stałą. Warunek \eta(z) \geq 0 mi nie przeszkadza, bo takie funkcje miałem na myśli zasadniczo. Teraz jeszcze jedno pytanie, a właściwie prośba o potwierdzenie: czy \eta(z) może być też kawałkami stała, np.:

\eta(z) =  \begin{cases} 1 \quad \textrm{dla} \quad  z\in\langle 0, \frac{H}{2}) \\ 
                                            0.5 \quad \textrm{dla} \quad  z\in\langle\frac{H}{2}, H\rangle
                       \end{cases}

Wydaje mi się oczywiste, że tak, ale wolę się upewnić...

Pozdrawiam,
Marek
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 3 lut 2018, o 14:47 
Gość Specjalny

Posty: 5968
Lokalizacja: Toruń
Nie może
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 4 lut 2018, o 22:31 
Użytkownik

Posty: 8
Lokalizacja: Polska
No to mnie zmartwiłeś. Ale po chwili namysłu stwierdzam, że masz oczywiście rację :)

Dziękuję za pomoc i pozdrawiam,
Marek
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 12 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Równanie różniczkowe  Anonymous  6
 Równanie Hamiltona-Jacobiego  Pikaczu  0
 rownanie linii lancuchowej  bisz  1
 Równanie różniczkowe - zadanie 10  niebieski  0
 równanie różniczkowe Clairauta - zadanie 2  qaz  4
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl