szukanie zaawansowane
 [ Posty: 4 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna
PostNapisane: 30 sty 2018, o 20:07 
Użytkownik

Posty: 19
Lokalizacja: Polska
Cześć,
właśnie rozwiązuje sobie równanie Eulera trzeciego rzędu i zatrzymałem się w jednym miejscu. Czy do tej pory wszystko poprawnie? Co dalej mam zrobić? Dla równania drugiego rzędu nie byłoby problemu, lecz trzeciego nie jestem pewien czy metoda uzmienniania stałych tutaj będzie pasować. Spójrzcie:
Wyznaczyć rozwiązanie ogólne równania Eulera
t^{3}y'''-t^{2}y''+2ty'-2y=t^{3}

t^{3}y'''(t)-t^{2}y''(t)+2ty'(t)-2y(t)=0
y(t)=t^{k}
y'(t)=kt^{k-1}
y''(t)=k(k-1)t^{k-2}
y'''(t)=k(k-1)(k-2)t^{k-3}
k(k-1)(k-2)t^{k}-k(k-1)t^{k}+2kt^{k}-2t^{k}=0 / :t^{k}
k(k-1)(k-2)-k(k-1)+2k-2=0
k(k-1)(k-2)-(k-2)(k-1)=0
(k-1)^{2}(k-2)=0
y_{1}(t)=t
y_{2}(t)=t\ln(t}
y_{3}(t)=t^{2}
y(t)=c_{1}(t)t+c_{2}(t)t\ln(t)+c_{3}(t)t^{2}

No i na tym się zasadniczo zatrzymałem. Jakieś pomysły jak dalej ruszyć?
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2019
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 31 sty 2018, o 06:03 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 6678
Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
Możesz to równanie sprowadzić do równania o stałych współczynnikach
podstawieniem x=e^{t}

To jest równanie liniowe więc uzmiennianie stałych powinno działać
Zapisujesz układ równań z macierzą Wrońskiego , rozwiązujesz go,
całkujesz i wstawiasz do postaci całki szczególnej

Zakładając że całki szczególne równania jednorodnego policzyłeś poprawnie to
całka szczególna równania niejednorodnego wygląda następująco

y(t)=c_{1}(t)t+c_{2}(t)t\ln(t)+c_{3}(t)t^{2}
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 31 sty 2018, o 08:27 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 7046
1)
Można przewidywać całkę szczególną:
y_s=At^3
2)
lub użyć metody uzmienniana stałych
\begin{cases} tC_1'+t\ln tC_2'+t^2C_3'=0\\ C_1'+(\ln t+1)C_2'+2tC_3'=0 \\  \frac{1}{t}C_2'+2C_3'=\red 1\end{cases}
czerwona jedynka wynika z właściwej postaci liczonego równania:
y'''- \frac{1}{t}y''+ \frac{2}{t^2}y'- \frac{2}{t^3}y= \red 1
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 31 sty 2018, o 16:40 
Użytkownik

Posty: 19
Lokalizacja: Polska
Dzięki, ja nie wiedziałem jak ma do końca wyglądać ten układ równań a właściwie czemu mają się dane linie równać. Pytanie, czemu tylko ostatnie pochodne są = 1 i czemu nie bierzemy np t_^{3} ? No, bo różne rozwiązania widziałem.


Ogólnie to dzięki, bo w sumie wiem jak już dokończyć.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 4 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Znleść rozwizanie ogólne następującego równania różniczkoweg  karolina_87_  1
 Rozwiązanie asymptotyczne równania różniczkowego  Pikaczu  0
 Równania różniczkowe - zadanie 12  intel86  6
 2 proste równania rózniczkowe  rucio  2
 Równania różniczkowe - zadanie 14  Elektryk19  4
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl