szukanie zaawansowane
 [ Posty: 6 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna
PostNapisane: 28 sty 2018, o 22:47 
Użytkownik

Posty: 201
Lokalizacja: małopolska
Mam do rozwiązania następujący układ równań:

\frac{ \mbox{d}A }{ \mbox{d}t} = -2A\ +\ B;
\frac{ \mbox{d}B }{ \mbox{d}t} = 2A\ -  3B;
\frac{ \mbox{d}C }{ \mbox{d}t} = 2 B

Mam pytanie czy poniższy "kierunek" rozwiązywania powyższego równania jest poprawny,
czy jest np. jakiś inny (krótszy/lepszy) sposób? :)

Macierz współczynników tego równania:
\left[\begin{array}{ccc}-2&1&0\\2&-3&0\\0&2&0\end{array}\right],
jej wartości własne:
\left|\begin{array}{ccc}-2-\lambda&1&0\\2&-3-\lambda&0\\0&2&-\lambda\end{array}\right|\xrightarrow{C_{1}+2C_{2}} \left|\begin{array}{ccc}-\lambda&1&0\\-4-2\lambda&-3-\lambda&0\\4&2&-\lambda\end{array}\right|\xrightarrow{C_{1}+\lambda C_{2}}\left|\begin{array}{ccc}0&1&0\\-4-5\lambda -\lambda^{2}&-3-\lambda&0\\4+2\lambda&2&-\lambda\end{array}\right| zatem:
\lambda  \cdot \left( \lambda^{2} +5\lambda + 4\right)=0  \Rightarrow \lambda  \cdot \left( \lambda+1\right) \cdot \left( \lambda+4\right) \Rightarrow \lambda =\left\{ -4,-1,0\right\}

odpowiadające wektory własne:
dla \lambda_{1}=-4:
\left\{\begin{array}{l} 2x+y=0\\2x+y=0\\2y+4z=0 \end{array}  \rightarrow  \begin{cases} y=-2x\\y=-2z\end{cases}  \rightarrow  \textbf{v}_{1}  = t  \cdot \left(\begin{array}{ccc}1\\-2\\1\end{array}\right)

dla \lambda_{2}=-1:
\left\{\begin{array}{l} -x+y=0\\2x-2y=0\\2y+z=0 \end{array}  \rightarrow  \begin{cases} y=x\\z=-2y\end{cases}  \rightarrow  \textbf{v}_{2}  = t  \cdot \left(\begin{array}{ccc}1\\1\\-2\end{array}\right)

dla \lambda_{3}=0:
\left\{\begin{array}{l} -2x+y=0\\2x-3y=0\\2y=0 \end{array}   \rightarrow  \textbf{v}_{3}  = t  \cdot \left(\begin{array}{ccc}0\\0\\1\end{array}\right)
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2019
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 28 sty 2018, o 22:58 
Użytkownik

Posty: 4787
Kierunek rozwiązania jest jak najbardziej poprawny.

Jest jeszcze mniej elegancka metoda podstawiania.
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 29 sty 2018, o 01:30 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 6685
Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
Czy ja wiem czy mniej elegancka
Za to nieco bardziej ogólna i chyba jest nazywana metodą eliminacji
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 29 sty 2018, o 10:32 
Użytkownik

Posty: 4787
Nie bardziej ogólna - bo nie dająca możliwość rozwiązania niektórych typów układu równań różniczkowych.
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 29 sty 2018, o 14:42 
Użytkownik

Posty: 201
Lokalizacja: małopolska
ok, dziękuję za pomoc :)
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 29 sty 2018, o 21:11 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 6685
Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
W metodzie eliminacji współczynniki nie muszą być stałe tak jak w tej metodzie więc jednak
jest bardziej ogólna
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 6 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Równanie różniczkowe układu RLC jako układ równań  imper2222  1
 Układ równań różniczkowych - dwie takie same wartości własne  marokamaro  1
 Układ równań rózniczkowych - zadanie 39  Paulina9206  10
 układ rówań  marek12  2
 Rozwiązanie ogólne liniowych równań rożniczkowych  verso20  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl