szukanie zaawansowane
 [ Posty: 2 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna
PostNapisane: 23 sty 2018, o 14:44 
Użytkownik

Posty: 88
Lokalizacja: Warszawa
Witam,

mam do rozwiązania takie równanie:

y \frac{ \partial ^2u}{ \partial x^2} +  \frac{\partial ^2u}{ \partial y^2} = 0

Wiem, że jest to równanie Tricomiego, ale nie mogę znależć rozwiązania...
Pomożecie?
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2019
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 23 sty 2018, o 16:54 
Użytkownik

Posty: 4787
424355.htm#p5507336

-- 23 sty 2018, o 21:08 --

A =y,   B =0,   C=1  
ightarrow B^2 - 4A =-4y =0.

Dane równanie jest równaniem typu hiperbolicznego, gdy

y <0, typu eliptycznego, gdy y>0.

Rozważamy dwa przypadki:

I - przypadek hiperboliczny y<0:

y'(x) = frac{B +sqrt{B^2 -4AC}}{2A}= -frac{sqrt{4y}}{2y}= frac{sqrt{-y}}{y}= frac{isqrt{y}}{sqrt{y}cdot sqrt{y}}= frac{i}{sqrt{y}}= frac{icdot i}{icdot sqrt{y}}=frac{-1}{sqrt{-y}}.

Stąd otrzymujemy następujące transformacje:

xi = sqrt{-y}dy + dx,   eta = sqrt{-y}dy - dx

xi = -frac{2}{3} (-y)^{frac{3}{2}}+ x,   eta = -frac{2}{3}(-y)^{frac{3}{2}} -x

xi_{x} =1,   eta_{x} =-1,   xi_{y}= eta_{y} = left(frac{3}{4}(xi + eta)
ight)^{frac{1}{3}}

y =- left(frac{9}{16}
ight)^{frac{1}3}(xi +eta)^{frac{2}{3}},   sqrt{-y}= -left(frac{3}{4}(xi + eta)
ight)^{frac{1}{3}}

frac{partial }{partial x} = frac{partial }{partial xi}-frac{partial }{partial eta}

frac{partial }{partial y} =left(frac{3}{4}(xi + eta)
ight)^{frac{1}{3}} left(frac{partial}{partial xi}+frac{partial }{partial eta}
ight)

frac{partial^2}{partial x^2} = frac{partial^2  }{partial xi^2}-2frac{partial^2 }{partial xi  partial eta} + frac{partial ^2}{partial eta^2}

[Blad w formule, skoryguj!]

ycdot u_{xx} + u_{yy} = 0,   u_{xi eta} = -frac{2}{3}(xi +eta )^{-1}(u_{xi}+ u_{eta})

jest jego postacią normalną dla przypadku hiperbolicznego y<0.


II - przypadek eliptyczny y> 0

y'(x) = frac{B +sqrt{B^2 -4AC}}{2A}= frac{sqrt{-4y}}{2y}= frac{sqrt{-y}}{y}= frac{isqrt{y}}{sqrt{y}cdot sqrt{y}}= frac{i}{sqrt{y}}.

Stąd równania transformacyjne:

xi = sqrt{y}dy + icdot dx,   eta = sqrt{y}dy - icdot dx

xi = frac{2}{3} (y)^{frac{3}{2}}+ x,    eta = frac{2}{3}(y)^{frac{3}{2}}-x

alpha = frac{1}{2}(xi + eta)= frac{2}{3}y^{frac{3}{2}},   eta = frac{1}{-2i}(xi - eta) = x.

alpha_{x} =0,   eta_{x}=-1,   alpha_{y}= sqrt{y} = left(frac{3}{2}alpha 
ight)^{frac{1}{3}},   eta_{y} =0,   y  = left(frac{3}{2}alpha 
ight)^{frac{2}{3}}

frac{partial }{partial x} = frac{partial }{partial eta}

frac{partial }{partial y} = sqrt{y}cdot frac{partial }{partial alpha} = left(frac{3}{2}alpha 
ight)^{frac{1}{3}}frac{partial }{partial alpha}

frac{partial^2 }{partial x^2}=frac{partial^2 }{partial eta^2}

frac{partial^2 }{partial y^2}= left(frac{3}{2}alpha
ight)^{frac{2}{3}}frac{partial^2 }{partial alpha^2} + left(frac{3}{2}alpha
ight)^{frac{1}{3}}left( frac{1}{3}left(frac{3}{2}alpha 
ight)^{-frac{2}{3}}frac{3}{2}
ight) frac{partial }{partial alpha}

ycdot u_{xx} + u_{yy} = 0,

u_{alpha alpha}+ u_{eta eta} = -frac{1}{3}cdot frac{1}{alpha}u_{alpha}

jest postacią kanoniczną równania dla przypadku eliptycznego ( y> 0).

Proszę znaleźć rozwiązania dla tych dwóch przypadków.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 2 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Równanie różniczkowe  Anonymous  6
 Równanie Hamiltona-Jacobiego  Pikaczu  0
 Rozwiązanie asymptotyczne równania różniczkowego  Pikaczu  0
 rownanie linii lancuchowej  bisz  1
 Równanie różniczkowe - zadanie 10  niebieski  0
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl