szukanie zaawansowane
 [ Posty: 6 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna
PostNapisane: 21 sty 2018, o 01:07 
Użytkownik

Posty: 9
Lokalizacja: Kraków
Dzień dobry.
Mam do rozwiązania następujące zadanie:

Wyznaczyć rozwiązanie ogólne układu x'(t)=A \cdot x(t) + f(t) , gdzie:

A=\begin{bmatrix} 1&1&0\\1&1&0\\0&0&3\end{bmatrix} \hbox{ i } f(t)=\begin{bmatrix} e^t\\e^{2t}\\te^{3t}\end{bmatrix}

Gdyby należało wyznaczyć jedynie rozwiązanie x'(t)=A \cdot x(t) bez f(t) , dałbym raczej radę, lecz nie mam pojęcia co zrobić z takim przypadkiem. Na forum nie znalazłem podobnego zadania, w internecie również. :/ Za każdą pomoc będę bardzo wdzięczny.

Pozdrawiam!
Grzesiek
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2019
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 21 sty 2018, o 01:37 
Użytkownik

Posty: 1477
Lokalizacja: Kraków
Skoro dostałeś takie zadanie, to na pewno miałeś wprowadzone pojęcie układu niejednorodnego i stosowne wzory.

Układ \dot{x} = Ax to układ jednorodny i rozwiązanie tego układu nazywa się często w inżynierii składową swobodną.

Układ \dot{x} = Ax + Bu to układ niejednorodny i rozwiązanie tego układu to swobodna wymuszona, bo pochodzi od pewnego zewnętrzne w stosunku do układu wymuszenia, mianowicie funkcji u.

Tak się składa, że rozwiązanie układu niejednorodnego to rozwiązanie ogólne układu jednorodnego plus rozwiązanie szczególne układu niejednorodnego. Najpierw należy zatem rozwiązać układ jednorodny, a potem użyć na przykład metody uzmienniania stałej (istnieje ona też w postaci macierzowej) aby wyznaczyć wspomniane wcześniej rozwiązanie szczególne.

Można też zajrzeć do literatury dotyczącej systemów dynamicznych bądź teorii sterowania, gdzie na pewno znajdzie się ogólny wzór na rozwiązanie układu \dot{x} = Ax + Bu postaci
x(t) = e^{At} x_0 +  \int_{0}^{t} e^{A (t - \tau)} B u(\tau) \dd \tau
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 21 sty 2018, o 12:14 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 6685
Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
Jednorodne można rozwiązać sprowadzając do równania liniowego wyższego rzędu
bądź licząc wartości i wektory własne macierzy A

\det{\begin{bmatrix} 1-\lambda&1&0\\1&1-\lambda&0\\0&0&3-\lambda\end{bmatrix}}=0\\
=\left( 3-\lambda\right)\left( \left( 1-\lambda\right)^2-1 \right)=0\\
\left( 3-\lambda\right)\left(1-\lambda-1 \right)\left(1-\lambda+1 \right)=0\\
-\lambda\left( \lambda-2\right)\left( \lambda-3\right)=0\\

\begin{bmatrix} 1&1&0\\1&1&0\\0&0&3\end{bmatrix} \cdot v=0\\
v_{3}=0\\
v_{1}+v_{2}=0\\
v_{2}=-v_{1}\\
v_{1} \begin{bmatrix} 1 \\ -1\\0 \end{bmatrix}


\begin{bmatrix} -1&1&0\\1&-1&0\\0&0&1\end{bmatrix} \cdot v=0\\
v_{3}=0\\
-v_{1}+v_{2}=0\\
v_{1}=v_{2}\\
v_{2}\begin{bmatrix} 1 \\ 1\\0 \end{bmatrix}

\begin{bmatrix} -2&1&0\\1&-2&0\\0&0&0\end{bmatrix}\\
-2v_{1}+v_{2}=0\\
v_{1}-2v_{2}=0\\
v_{3}\begin{bmatrix} 0 \\ 0\\1 \end{bmatrix}


x_{j}=v_{1} \begin{bmatrix} 1 \\ -1\\0 \end{bmatrix}e^{0t}+v_{2}\begin{bmatrix} 1 \\ 1\\0 \end{bmatrix}e^{2t}+v_{3}\begin{bmatrix} 0 \\ 0\\1 \end{bmatrix}e^{3t}\\
x_{j}=v_{1} \begin{bmatrix} 1 \\ -1\\0 \end{bmatrix}+v_{2}\begin{bmatrix} 1 \\ 1\\0 \end{bmatrix}e^{2t}+v_{3}\begin{bmatrix} 0 \\ 0\\1 \end{bmatrix}e^{3t}\\

Uzmienniasz stałe , twój układ wygląda tak

\begin{bmatrix} 1&e^{2t}&0 \\ -1&e^{2t}&0\\0&0&e^{3t} \end{bmatrix} \cdot  \begin{bmatrix} C_{1}'\left( t\right)  \\ C_{2}'\left( t\right)\\C_{3}'\left( t\right)  \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} e^{t} \\ e^{2t} \\te^{3t}\end{bmatrix}\\
 \begin{bmatrix} C_{1}'\left( t\right)  \\ C_{2}'\left( t\right)\\C_{3}'\left( t\right)  \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1&e^{2t}&0 \\ -1&e^{2t}&0\\0&0&e^{3t} \end{bmatrix}^{-1} \cdot \begin{bmatrix} e^{t} \\ e^{2t} \\te^{3t}\end{bmatrix}\\
Góra
Kobieta
PostNapisane: 21 sty 2018, o 17:31 
Użytkownik

Posty: 2
Lokalizacja: Warszawa
Witam was koledzy,
napotkałam na podobny problem w zadaniu. Część przedstawioną powyżej również udało mi się zrobić. Wymnożyłam wszystko i policzyłam całki po Cx't), jednak nie do końca wiem co zrobić z wyliczonymi C1(t), C2(t) oraz C3(t). Jakieś rady?
Z góry wam serdecznie dziękuję!
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 21 sty 2018, o 19:23 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 6685
Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
x_{s}=C_{1}\left( t\right)x_{1}\left( t\right)+C_{2}\left( t\right)x_{2}\left( t\right)+C_{3}\left( t\right)x_{3}\left( t\right)\\
x_{1}\left( t\right)= \begin{bmatrix} 1 \\ -1\\0 \end{bmatrix}\\
x_{2}\left( t\right)= \begin{bmatrix} 1 \\ 1\\0 \end{bmatrix}e^{2t}\\  
x_{3}\left( t\right)= \begin{bmatrix} 0 \\ 0\\1 \end{bmatrix}e^{3t}\\
Góra
Kobieta
PostNapisane: 21 sty 2018, o 20:39 
Użytkownik

Posty: 2
Lokalizacja: Warszawa
Dziękuję ci ślicznie, miłego tygodnia!
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 6 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 rozwiązanie ogólne układu  agulec  1
 Wyznaczyć rozwiązania ogólne następujących równań  przlde  6
 prawdziwość zdania. ograniczone rozwiązanie równania  prawyakapit  4
 Rozwiązanie ogólne - zadanie 3  bimberboy  6
 Rozw ogolne znajac jedno rozw  skolukmar  4
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl