szukanie zaawansowane
 [ Posty: 7 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna
PostNapisane: 20 sty 2018, o 01:36 
Użytkownik

Posty: 2
Lokalizacja: Warszawa
Witam. Czy mógłby ktoś mi to wytłumaczyć?

Mam równanie różniczkowe:
f^{\!\mbox{\tiny\textit{ IV}}}+2f^{\!\mbox{\tiny\textit{ II}}}+f=0
Przy podstawieniu:
f(\varphi)=e^k^\varphi

k^4+2k^2+1=0 \\
(k^2+1)^2=0

Pierwiastki są następujące:
k_{1,2}=\pm 0 \\
 k_{3,4}=\pm 0

Więc funkcjami bazowymi równania różniczkowego są funkcje (pytanie: skąd to wynika)?:
e^{i\varphi};\ e^{-i\varphi};\ \varphi e^{i\varphi};\ \varphi e^{-i\varphi}

A po wykorzystaniu trygonometrycznej postaci funkcji zespolonych (tzn. jak to przekształcić?) uzyskuję bazę:

\sin\varphi;\ \cos\varphi;\ \varphi\sin\varphi;\ \varphi\cos\varphi

Wyprowadzi to i przekształci jakaś dobra dusza tak, żeby nawet blondynka zrozumiała? Z góry dziękuję!
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2019
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 20 sty 2018, o 14:38 
Użytkownik

Posty: 4787
y^{(4)}+ 2y^{(2)} + 1 = 0 (0)

k_{1,2}=\pm i

k_{3,4} =\pm i

Zgodnie z podstawieniem otrzymujemy układ czterech funkcji:

f_{1}(\phi)= e^{-i\phi}, \ \ f_{2}(\phi)= e^{i\phi},\ \ f_{3}(\phi)= e^{-i\phi},\ \ f_{4}(\phi)= e^{i\phi} (1)

Z tych funkcji i ich pochodnych (do rzędu III włącznie) tworzymy wyznacznik (Wrońskian)

W= \left| \begin{matrix} f_{1}(\phi)&f_{2}(\phi)&f_{3}(\phi)&f_{4}(\phi)\\ f'_{1}(\phi)&f'_{2}(\phi)&f'_{3}(\phi)&f'_{4}(\phi)\\ f^{''}_{1}(\phi)&f^{''}_{2}(\phi)&f^{''}_{3}(x)&f^{''}_{3}(\phi)\\  f{^{(3)}_{1}(\phi)&f^{(3)}_{2}(\phi)&f^{(3)}_{3}(\phi)&f^{(3)}_{4}(\phi) \end{matrix}\right|

Badamy znak tego wyznacznika.

Jeżeli W\neq 0, to układ funkcji (1) jest liniowo niezależny i nazywamy go układem funkcji bazowych (całkami szczególnymi) równania (0).

Twierdzenie

Jeżeli funkcje (1) są funkcjami bazowymi równania (0) na przedziale P oraz C_{1}, C_{2}, C_{3}, C_{4} są dowolnymi stałymi, to funkcja:

f(x) = C_{1}\cdot f_{1}(\phi)+C_{2}\cdot f_{2}(\phi)+C_{3}\cdot f_{3}(\phi)+C_{4}\cdot f_{4}(\phi)

jest także rozwiązaniem tego równania.

Ze wzoru Eulera otrzymujemy układ równań:

\begin{cases}e^{i\phi} = \cos(\phi) + i\sin(\phi)\\ e^{-i\phi}=\cos(\phi) - i\sin(\phi) \end{cases}\right.

z którego wynika, że funkcje:

\cos(\phi) =\frac{e^{-i\phi}+e^{i\phi}}{2}

\sin(\phi) = \frac{e^{-i\phi}-e^{i\phi}}{2i}

oraz

\phi\cdot \sin(\phi), \ \ \phi\cdot \cos(\phi)

są funkcjami bazowymi.
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 20 sty 2018, o 14:48 
Użytkownik

Posty: 16622
Lokalizacja: Bydgoszcz
Słabe to twierdzenie, bo tu akurat te funkcje są liniowo zależne.
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 20 sty 2018, o 15:06 
Użytkownik

Posty: 4787
Rozwiązaniem ogólnym równania (0) jest funkcja:

f(x) = C_{1} \cos(\phi) +C_{2} \sin(\phi) + C_{3} \phi\sin(\phi) +C_{4} \phi\cos(\phi).
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 23 sty 2018, o 22:31 
Moderator

Posty: 4211
Lokalizacja: Kraków PL
A4karo zasygnalizował błąd, ale Janusz47 nie zareagował.
janusz47 napisał(a):
f_{1}(\phi)= e^{-i\phi}, \ \ f_{2}(\phi)= e^{i\phi},\ \ f_{3}(\phi)= e^{-i\phi},\ \ f_{4}(\phi)= e^{i\phi} (1)
Powinno być:

    \newrgbcolor{dg}{0 0.4 0}f_{1}(\phi)=e^{-i\phi},\ f_{2}(\phi)=e^{i\phi},\ f_{3}(\phi)={\dg{\phi}}e^{-i\phi},\ f_{4}(\phi)={\dg{\phi}}e^{i\phi}
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 24 sty 2018, o 20:03 
Użytkownik

Posty: 4787
Otrzymaliśmy dwie pary powtarzających się pierwiastków równania charakterystycznego dla równania różniczkowego rzędu IV - jednorodnego:

f_{1}(\phi)=e^{i\phi}, \ \ f_{2}(\phi)=e^{i \phi},\ \ f_{3}(\phi) = e^{-i \phi}, \ \ f_{4}(\phi) = e^{-i \phi}.

Odpowiadający im wyznacznik Wrońskiego:

\left|\begin{matrix} e^{i\phi}&e^{i \phi}&e^{-i \phi}&e^{-i \phi}\\ i\phi e^{i\phi}&i\phi e^{i \phi}&-i\phi e^{-i \phi}&-i\phi e^{-i\phi}\\-\phi^2 e^{i\phi}&-\phi^2 e^{i \phi}&-\phi^2e^{-i \phi}&-\phi^2 e^{-i\phi}\\- i \phi^3 e^{i\phi}&-i \phi^3 e^{i \phi}& i \phi^3 e^{-i \phi}& i \phi^3 e^{-i \phi}\end{matrix}\right|

jest wyznacznikiem 4\times 4 - równym od zeru (proszę sprawdzić !)

Oznacza to, że układ funkcji ze względu na zmienną \phi tworzy układ liniowo zależny w przestrzeni wektorowej C^{4}.

Ponieważ pierwiastki równania charakterystycznego powtarzają, się, więc jego rzeczywistym rozwiązaniem bazowym jest układ czterech funkcji:

g_{1}(\phi)= \cos(\phi),\ \ g_{2}=\phi\cdot (\cos(\phi),\ \ g_{3}(\phi)= \sin(\phi), \ \ g_{4}(\phi)= \phi\cdot \sin(\phi)

a rozwiązanie ogólne jest w postaci:

y= C_{1}\cos(\phi)+C_{2}\phi\cdot (\cos(\phi)+ C_{3} \sin(\phi)+ C_{4}\phi\cdot \sin(\phi).
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 24 sty 2018, o 21:20 
Użytkownik

Posty: 16622
Lokalizacja: Bydgoszcz
janusz47, a możesz wyjaśnić które z podanych przez Ciebie rozumowań jest prawidłowe? I dlaczego? Bo podałeś dwa różne, bez żadnego komentarza. A może tak po prostu sobie piszesz, co wpadnie pod klawiaturę?

-- 24 sty 2018, o 20:24 --

janusz47 napisał(a):
Otrzymaliśmy dwie pary powtarzających się pierwiastków równania charakterystycznego dla równania różniczkowego rzędu IV - jednorodnego:

f_{1}(\phi)=e^{i\phi}, \ \ f_{2}(\phi)=e^{i \phi},\ \ f_{3}(\phi) = e^{-i \phi}, \ \ f_{4}(\phi) = e^{-i \phi}.

Odpowiadający im wyznacznik Wrońskiego:

\left|\begin{matrix} e^{i\phi}&e^{i \phi}&e^{-i \phi}&e^{-i \phi}\\ i\phi e^{i\phi}&i\phi e^{i \phi}&-i\phi e^{-i \phi}&-i\phi e^{-i\phi}\\-\phi^2 e^{i\phi}&-\phi^2 e^{i \phi}&-\phi^2e^{-i \phi}&-\phi^2 e^{-i\phi}\\- i \phi^3 e^{i\phi}&-i \phi^3 e^{i \phi}& i \phi^3 e^{-i \phi}& i \phi^3 e^{-i \phi}\end{matrix}\right|

jest wyznacznikiem 4\times 4 - różnym od zera (proszę sprawdzić !)



Trzeci wiersz powstaje z pomnożenia pierwszego przez -\phi^2, wiec pewnie jednak jest zerowy
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 7 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Równanie różniczkowe  Anonymous  6
 Równanie Hamiltona-Jacobiego  Pikaczu  0
 rownanie linii lancuchowej  bisz  1
 Równanie różniczkowe - zadanie 10  niebieski  0
 równanie różniczkowe Clairauta - zadanie 2  qaz  4
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl