szukanie zaawansowane
 [ Posty: 5 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna
PostNapisane: 14 sty 2018, o 17:23 
Użytkownik

Posty: 21
Lokalizacja: Polska
Mam takie oto równanie: y''+9y=\sin 3x. Znalazłem całkę ogólną jednorodnego (y=A\cos 3x\ +B\sin 3x), ale nijak nie mogę wyliczyć tego szczególnego, próbowałem uzmiennianiem (zamieszałem się, bo dużo rachunków) i "zgadywaniem" (podstawiłem y_{SN}=(ax+b)\cos 3x\ +(cx+d)\sin 3x). Wiem, że to nie idzie tak prosto bo y=\sin 3x jest rozwiązaniem ogólnego jednorodnego, dlatego proszę o rozwiązanie, żebym mógł znaleźć błąd.
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2019
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 14 sty 2018, o 18:02 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 18618
Lokalizacja: Cieszyn
Cytuj:
dlatego proszę o rozwiązanie, żebym mógł znaleźć błąd

I inny cytat

Herod (Mt 2,8) napisał(a):
Udajcie się tam i wypytujcie starannie o Dziecię, a gdy Je znajdziecie, donieście mi, abym i ja mógł pójść i oddać Mu pokłon

Czy to nie podobne? Kolejność jest inna. Ty przedstawiasz swoje rozwiązanie, a my diagnozujemy błędy.
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 14 sty 2018, o 18:08 
Użytkownik

Posty: 21
Lokalizacja: Polska
Błąd chcę znaleźć w swoim rozumowaniu, porównując swoje rozwiązanie do poprawnego :)
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 14 sty 2018, o 18:37 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 13931
Lokalizacja: Wrocław
Nie pamiętam już metody przewidywań, ale szczerze mówiąc nie chce mi się uzmienniać stałych, więc poczytałem tutaj: 140782.htm
(należy tylko odnotować, że jest tam, jak się zdaje, mały konflikt oznaczeń).
Z tego wynika, że powinno zadziałać takie przewidywanie
y_{sz}=x(acos 3x+b sin 3x)
Wstawmy to do rzeczonego równania y''+9y=sin 3x i popatrzmy:
2cdotleft( -3asin 3x+3bcos 3x
ight) +xleft( -9acos 3x-9bsin 3x
ight) +9x(acos 3x+bsin 3x)=\=sin 3x\ -6asin 3x+6bcos 3x=sin 3x
Stąd otrzymujemy:
a=-frac{1}{6},  b=0,
czyli mamy rozwiązanie szczególne równania niejednorodnego postaci
y_{sz}=-frac{1}{6}xcos 3x.

Polecam przejrzeć wątek, do którego link podałem, tylko spytam jeszcze, czy zauważyłeś konflikt oznaczeń, o którym wspomniałem?
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 14 sty 2018, o 22:29 
Użytkownik

Posty: 4787
y^{''} + 9y = \sin(3x) (0)

Sposób rozwiązania wymagający znajomości pojęcia quasiwielomianu i liczb zespolonych w zakresie podstawowym.

Funkcję postaci:

q(x) = w(y)e^{\lambda\cdot x} ( w - wielomian) nazywamy quasiwielomianem stopnia n, \ \ n\in \NN o wykładniku \lambda.

Prawa strona równania jest quasiwielomianem stopnia zerowego i

\sin(3x) = Im[e^{i\cdot 3x}] (0)

Zajmiemy się więc równaniem pomocniczym:

y^{''} +9y  = e^{i\cdot3x}

Równanie charakterystyczne równania jednorodnego:

\lambda^2 + 9 = 0 (1)

ma dwa pierwiastki \lambda_{1} = -3i, \ \ \lambda_{2} = 3i.

Wobec twierdzenia o rozwiązaniach równania różniczkowego linowego rzędu I - jednym z rozwiązań szczególnych równania (0) jest quasiwielomian stopnia pierwszego:

q(x) = (Ax +B)e^{i\cdot 3x}.

Powinno więc być spełnione równanie:

e^{i\cdot 3x} = [(Ax +B)e^{i\cdot 3x}]^{''}  + 9[(Ax +B)e^{i\cdot 3x}] = [Ae^{i\cdot 3x}+3i(Ax +B)e^{i\cdot 3x}]^{'} + 9(Ax +B)e^{i\cdot 3x} = 3iAe^{i\cdot 3x}+3iAe^{i\cdot 3x}+9i^2 (Ax +B)e^{i\cdot 3x} + 9(Ax +B)e^{i\cdot 3x}= 6iAe^{i\cdot 3x} - 9(Ax +B)e^{i\cdot 3x}+ 9(Ax +B)e^{i\cdot 3x} = 6iAe^{i\cdot 3x}.

Stąd:

1 = 6iA, \ \ A = \frac{1}{6i}, \ \ A =-\frac{1}{6}i, \ \ B - dowolna liczba, B\in \CC.

Znaleźliśmy rozwiązanie szczególne równania:

y_{s} = \left(-\frac{1}{6}i \xdot x + B \right)e^{i\cdot 3x}

i jego rozwiązanie ogólne:

y = \left( -\frac{1}{6}i \xdot x + B \right)e^{i\cdot 3x} +C_{1}e^{-i\cdot 3x}+ C_{2}e^{-\cdot 3x} (2)

Z porównania (2) i (0) wynika, że rozwiązaniem ogólnym równania jest funkcja:

y = Im \left[\left(-\frac{1}{6}i x + B)(\cos(3x) + i\sin(3x)\right)\right] +C_{1}\cos(3x)+C_{2}\sin(3x) = -\frac{1}{6}x\cos(3x) +B\sin(3x) + C_{1}\cos(3x)+C_{2}\sin(3x) = -\frac{1}{6}x\cdot \cos(3x) + C\sin(3x)+ C_{1}\cos(3x), \\  C = B + C_{2}.

y = -\frac{1}{6} x \cdot \cos(3x) + C\sin(3x) + C_{1}\cos(3x).
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 5 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 równanie różniczkowe rzędu drugiego  Pantera88  0
 równanie różniczkowe rzędu drugiego - zadanie 3  dabros_89  5
 równanie różniczkowe rzedu drugiego  zielona_kompletnie  1
 Równanie różniczkowe rzędu drugiego - zadanie 4  Anonymous  7
 Rownanie rozniczkowe rzedu drugiego  solmech  3
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl