szukanie zaawansowane
 [ Posty: 3 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna
PostNapisane: 13 sty 2018, o 18:20 
Użytkownik

Posty: 21
Lokalizacja: Polska
Cześć! Mam do rozwiązania równanie: y'+2y=x^2. Samo równanie nie należy do najtrudniejszych, ale przy dodatkowym poleceniu, aby rozwiązać dwoma sposobami, uzmienniając stałą wychodzi mi wynik y=\frac {1} {2}\ x^2 - \frac {1} {2}\ x + \frac {1} {4}, a przy odgadywaniu całki szczególnej (która wyszła mi y=\frac {1} {2}\ x^2 - \frac {1} {2}\ x + \frac {1} {4}), dodając do tego całkę równania jednorodnego ostateczna całka ogólna wychodzi y=\frac {1} {2}\ x^2 - \frac {1} {2}\ x + \frac {1} {4}\ +Ce^{-2x}. I to właśnie rozwiązanie jest poprawne, bo znalazłem to zadanie w "krysickim", ale jest tam tylko tą metodą zgadywania. Mógłby ktoś rozwiązać uzmienniając, żebym mógł sobie porównać i znaleźć błąd?
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2019
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 13 sty 2018, o 18:46 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 13929
Lokalizacja: Wrocław
Równanie jednorodne:
y'+2y=0\\ \frac{y'}{y}=-2\\ \ln |y|=-2x+C\\ y=C_1 \cdot e^{-2x}
Teraz przyjmując C_1=C_1(x) i wstawiając do równania niejednorodnego, otrzymujemy:
C_1'(x)e^{-2x}-2C_1(x) e^{-2x}+2C_1(x)e^{-2x}=x^2\\C_1'(x)=x^2 \ e^{2x}
i teraz całkujemy ten syf przez części:
C_1(x)= \int_{}^{} x^2 e^{2x}\,\dd x= \frac{1}{2}x^2 e^{2x}- \int_{}^{} xe^{2x}\,\dd x=\\=\frac 1 2x^2 e^{2x}-\frac{1}{2}xe^{2x}+\frac 1 2 \int_{}^{}e^{2x}\,\dd x=\frac 1 2x^2 e^{2x}-\frac{1}{2}xe^{2x}+\frac 1 4e^{2x}
z dokładnością do stałej,
więc rozwiązanie szczególne równania niejednorodnego jest postaci
y_{sz}=e^{-2x}\left(\frac 1 2x^2 e^{2x}-\frac{1}{2}xe^{2x}+\frac 1 4e^{2x}\right)=\\=\frac 1 2x^2 -\frac{1}{2}x+\frac 1 4
a więc rozwiązanie ogólne jest postaci…
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 13 sty 2018, o 18:53 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 7057
Inaczej:
y'+2y=x^2\\
y'e^{2x}+2ye^{2x}=x^2e^{2x}\\
(ye^{2x})'_x=x^2e^{2x}\\
ye^{2x}= \int_{}^{} x^2e^{2x} \mbox{d}x \\
ye^{2x}=  \frac{1}{2} x^2e^{2x} -\frac{1}{2} xe^{2x}+\frac{1}{4}e^{2x}+C\\
y= \frac{1}{2} x^2 -\frac{1}{2} x+\frac{1}{4}+Ce^{-2x}
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 3 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Równanie różniczkowe  Anonymous  6
 Równanie Hamiltona-Jacobiego  Pikaczu  0
 rownanie linii lancuchowej  bisz  1
 Równanie różniczkowe - zadanie 10  niebieski  0
 równanie różniczkowe Clairauta - zadanie 2  qaz  4
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl