szukanie zaawansowane
 [ Posty: 2 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna
PostNapisane: 11 sty 2018, o 17:55 
Użytkownik

Posty: 1
Lokalizacja: Gdańsk
Initial value problem:

y''+8y=6 \\
 x\in [a, b] \\
y(a) = y_{a} \\
y'(a) = y'_{a} \\
h = \frac{(b-a)}{n}

Rozwiązać metodą Eulera.
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2019
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 12 sty 2018, o 16:49 
Użytkownik

Posty: 4787
y^{''} + 8y = 6, \ \ y(a)=y_{a}, \ \ y'(a) =y'_{a} (1)

Metoda Eulera opiera się na rozwinięciu funkcji w szereg Taylora:

y(x_{n}+h) = y(x_{n}) + h f(x_{n},y(x_{n}) ) + O(h^2)

Po zastąpieniu y(x_{n}), y(x_{n}+h) odpowiednio ich numerycznymi przybliżeniami y_{n}, y_{n+1} i opuszczeniu składnika O(h^2) , otrzymujemy metodę Eulera.

Ogólnie jedno-krokowy schemat Eulera "wprzód" może być zapisany w postaci:

y_{n+1} = y_{n} +h\Phi(x_{n},y_{n};h), \ \ n = 0,1,2,..., N-1, \ \ y(x_{0}) = y_{0}

Zagadnienie początkowe (Cauchy) zawiera pochodną II rzędu, więc zapisujemy je w postaci układu dwóch równań różniczkowych rzędu I :

\left{\begin{cases}y^{'}= u\\ u' = -8y +6 \end{cases} \right.

\left [\begin{matrix} y'\\ u' \end{matrix}\right] = \left [\begin{matrix}0&1\\ -8&0 \end{matrix}\right]\cdot \left [\begin{matrix} y\\ u \end{matrix}\right ]+\left [\begin{matrix}0 \\ 6 \end{matrix}\right ],\ \ y_{a}=y_{a}, \ \ u(a)= u_{a}

Stosujemy do każdego równania układu jedno-krokowy schemat Eulera "wprzód":

\left [\begin{matrix} y_{n+1}\\ u_{n+1} \end{matrix}\right] = \left [\begin{matrix}0&1\\ -8&0 \end{matrix}\right]\cdot \left [\begin{matrix} y_{n}\\ u_{n} \end{matrix}\right ]+\left [\begin{matrix}0 \\ 6 \end{matrix}\right ], \ \ y_(a)=y_{a}, \ \ u(a)= u_{a}

Proszę napisać skrypt np. w Octave o nazwie np. Euler('f', [a,b], ya,ua,h), realizujący powyższy schemat.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 2 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Znleść rozwizanie ogólne następującego równania różniczkoweg  karolina_87_  1
 Rozwiązanie asymptotyczne równania różniczkowego  Pikaczu  0
 Równania różniczkowe - zadanie 12  intel86  6
 2 proste równania rózniczkowe  rucio  2
 Równania różniczkowe - zadanie 14  Elektryk19  4
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl