szukanie zaawansowane
 [ Posty: 2 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna
PostNapisane: 9 sty 2018, o 19:22 
Użytkownik

Posty: 6
Lokalizacja: Kraków
Witam,
Potrzebuję pomocy przy dokończeniu zadania. Celem jest rozwiązanie tego układu za pomocą transformaty Laplace'a

\left\{\begin{array}{l} x'+y'+y=e^t\\x'-y'+x=0\end{array}

\left\{\begin{array}{l} x(0)=0\\y(0)=1\end{array}

Obkładam w każdym równaniu obustronnie transformatą Laplance'a.

\left\{\begin{array}{l} L(x')+L(y')+L(y)=(e^t)\\L(x')-L(y')+L(x)=0\end{array}

\left\{\begin{array}{l} sX(s)+sY(y)+Y(s)=\frac{1}{s-1}\\sX(s)-sY(s)+X(s)=0\end{array}

Przekształcam pierwsze równanie i podstawiam do drugiego równania.

\left\{\begin{array}{l} Y(s)=\frac{sX(s)+X(s)}{s}\\sX(s)+\frac{s(sX(s)+X(s))}{s}+\frac{sX(s)+X(s)}{s}=\frac{1}{s-1}\end{array}

2s^2X(s)+2sX(s)+X(s)= \frac{s}{s-1}

X(s)=\frac{s}{(s-1)(2s^2+2s+1)}

Zamieniam na ułamki proste

\frac{s}{(s-1)(2s^2+2s+1)}=\frac{A}{(s-1)}+\frac{Bs+C}{2s^2+2s+1}

s=2As^2+2As+A+Bs^2-Bs+Cs-C

\left\{\begin{array}{l} 0=2A+B\\1=2A-B+C\\0=A-C\end{array}

\left\{\begin{array}{l} B=\frac {-2}{5}\\A= \frac{1}{5}\\C=\frac{1}{5}\end{array}

X(s)=\frac{\frac{1}{5}}{s-1}+\frac{\frac{-2s}{5}+\frac{1}{5}}{2s^2+2s+1}

Analogicznie obliczam Y(s)

Y(s)=\frac{s+1}{(s-1)(2s^2+2s+1)} \\
\vdots \\ \\
\left\{\begin{array}{l} B=\frac {-4}{5}\\A= \frac{2}{5}\\C=\frac{-3}{5}\end{array}

Y(s)=\frac{\frac{2}{5}}{s-1}+\frac{\frac{-4s}{5}+\frac{-3}{5}}{2s^2+2s+1}

Liczę transformatę odwrotną

x(t)=L^{-1}\big(X(s)\big)=L^{-1}\left( \frac{\frac{1}{5}}{s-1}\right)+L^{-1}\left(\frac{\frac{-2s}{5}+\frac{1}{5}}{2s^2+2s+1}\right)

y(t)=L^{-1}\big(Y(s)\big)=L^{-1}\left(\frac{\frac{2}{5}}{s-1}\right)+L^{-1}\left(\frac{\frac{-4s}{5}+\frac{-3}{5}}{2s^2+2s+1}\right)

Na tym etapie nie wiem jaką postać przyjmie x i y po obliczeniu transformaty odwrotnej.

Wiem, że przy L^{-1}\left(\frac{\frac{2}{5}}{s-1}\right) mogę wyciągnąć \frac{2}{5} i wtedy będę miał e^{t} , ale problem jest przy L^{-1}\left(\frac{\frac{-2s}{5}+\frac{1}{5}}{2s^2+2s+1}\right) .
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2019
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 10 sty 2018, o 09:08 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 7046
Spider49 napisał(a):
left{egin{array}{l} L(x')+L(y')+L(y)=(e^t)\L(x')-L(y')+L(x)=0end{array}

left{egin{array}{l} sX(s)+sY(y)+Y(s)=frac{1}{s-1}\sX(s)-sY(s)+X(s)=0end{array}

gubisz oznaczenia transformat wyrazów wolnych :
left{egin{array}{l} L(x')+L(y')+L(y)=L(e^t)\L(x')-L(y')+L(x)=L(0)end{array}
oraz warunki początkowe:
left{egin{array}{l} (sX(s)-0)+(sY(y)-1)+Y(s)=frac{1}{s-1}\ (sX(s)-0)-(sY(s)-1)+X(s)=0end{array}
co sprawia, że musisz rozwiązywać układ jeszcze raz.

Spider49 napisał(a):
ale problem jest przy L^{-1}left(frac{frac{-2s}{5}+frac{1}{5}}{2s^2+2s+1}
ight)
Problem rozwiążą wzory z: 428136.htm . Zdołasz je tu zastosować?
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 2 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Transformata Laplace'a - zadanie 13  noven  0
 Transformata Laplace'a - zadanie 65  Fray  1
 transformata laplace'a - zadanie 49  mzx  2
 transformata Laplace'a - zadanie 69  Karolina93  2
 Transformata laplace'a - zadanie 63  zomfgurpwned  0
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl