szukanie zaawansowane
 [ Posty: 6 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna
PostNapisane: 7 sty 2018, o 18:03 
Użytkownik

Posty: 6
Lokalizacja: Kraków
Witam,
Mam problem z rozwiązaniem tego układu metodą operatorową.

\begin{cases} x'+x-z=0 \\ z'+y'+y=0 \\ x'+x-z'=0 \end{cases}

Zapisałem powyższy układ przy użyciu operatorów.

\begin{cases} (D+1)x-z=0 \\ Dz+(D+1)y=0 \\ (D+1)x-Dz=0 \end{cases}

\begin{bmatrix} D+1&0&-1\\0&D+1&D\\D+1&0&-D\end{bmatrix}=-D^3-3D^2-3D-1

\begin{bmatrix} D+1&0&-1\\0&D+1&D\\D+1&0&-D\end{bmatrix}x=\begin{bmatrix} 0&0&-1\\0&D+1&D\\0&0&-D\end{bmatrix}=0

\begin{bmatrix} D+1&0&-1\\0&D+1&D\\D+1&0&-D\end{bmatrix}y=0

\begin{bmatrix} D+1&0&-1\\0&D+1&D\\D+1&0&-D\end{bmatrix}z=0

w ten sposób otrzymałem równania zwyczajne rzędu trzeciego:

(-D^3-3D^2-3D-1)x=-x'''-3x''-3x'-x=0
(-D^3-3D^2-3D-1)y=-y'''-3y''-3y'-y=0
(-D^3-3D^2-3D-1)z=-z'''-3z''-3z'-z=0

Tutaj chciałem rozwiązać równanie metodą przewidywań.
równanie charakterystyczne:

-x'''-3x''-3x'-x=0

-\lambda^3-3\lambda^2-3\lambda-1=0

(-\lambda^2-2\lambda-1)(\lambda+1)=0

\Delta=0

\lambda=-1

(\lambda+1)^3=0

W tym miejscu nie wiem jaką postać będzie miała powyższe równanie. Czy na tym etapie wszystko jest w porządku oraz co trzeba zrobić dalej ?
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2019
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 7 sty 2018, o 19:19 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 13930
Lokalizacja: Wrocław
Nie znam tej metody operatorowej, ale trochę mnie niepokoi to rozwiązanie, ponieważ w układzie dostrzegam pewną asymetrię, a Twoja próba rozwiązania w pewien sposób tę asymetrię gubi.

Ponieważ jestem leniwy, więc zauważyłbym, że z pierwszego i trzeciego równania wynika, iż
z'=z, czyli z=C_1 e^t, po zastosowaniu obserwacji z'=z do pierwszego i drugiego równania możemy zaś otrzymać (x+y)'=-(x+y), czyli x(t)+y(t)=C_2 e^{-t}. Ponadto różniczkując stronami pierwsze równanie i wstawiając za z' do trzeciego, dostajemy bodajże x''=x, a to ma znane rozwiązanie (krotności sinusa i cosinusa). I już prawie koniec.

Jednak rozumiem, że temat ma na celu przećwiczenie ogólnego schematu, obawiam się więc, że błędnie go stosujesz.
Pozdrawiam.

-- 7 sty 2018, o 19:21 --

Jak masz w necie jakieś materiały o tej metodzie, to podrzuć, a może zerknę, mnie jedyne, co się kojarzy z nazwą „metoda operatorowa" to zastosowanie transformaty Laplace'a.
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 7 sty 2018, o 19:31 
Użytkownik

Posty: 6
Lokalizacja: Kraków
Korzystałem z tych stron:
https://epodreczniki.open.agh.edu.pl/op ... duleId=585
https://epodreczniki.open.agh.edu.pl/op ... duleId=584
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 7 sty 2018, o 19:51 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 13930
Lokalizacja: Wrocław
Aha, dzięki. No to tak to czytam i wychodzi na to, że sam jestem asymetria, to wygląda poprawnie.

Skoro otrzymałeś równanie charakterystyczne (\lambda+1)^3=0 , to rozwiązanie ogólne równania jednorodnego jest postaci x(t)=C_1 e^{-t}+C_2 te^{-t}+C_3t^2e^{-t} , o ile dobrze pamiętam.

Nie widzę tu jednak zastosowania dla metody przewidywań, przecież otrzymałeś układ równań jednorodnych.
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 7 sty 2018, o 20:24 
Moderator

Posty: 4211
Lokalizacja: Kraków PL
I aby nie wprowadzać w błąd, to wszędzie w zapisie powinny być wyznaczniki, a nie macierze:

    \begin{vmatrix} D+1&0&-1\\0&D+1&D\\D+1&0&-D\end{vmatrix}=-D^3-3D^2-3D-1
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 8 sty 2018, o 03:41 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 6685
Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
Czy metoda operatorowa to nie przekształcenie Laplace?
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 6 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 metoda operatorowa - zadanie 4  misi8a  2
 Metoda operatorowa - zadanie 3  batmaniak  0
 Metoda operatorowa - zadanie 2  ragazzo  4
 Metoda operatorowa  intel86  8
 Metoda operatorowa - zadanie 6  Cassandra19x  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl