szukanie zaawansowane
 [ Posty: 26 ]  Przejdź na stronę 1, 2  Następna strona
Autor Wiadomość
Mężczyzna
PostNapisane: 2 sty 2018, o 09:56 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 41
Lokalizacja: Warszawa
Z pewnej wysokości upuszczono cegłę o masie m=2kg. Siła oporu powietrza jest proporcjonalna do jej prędkości. Zmianę pędu cegły opisuje równanie różniczkowe :

m \frac{dv}{dt}=mg - uv

Obliczyć jaką prędkość będzie miała cegła po czasie t = 5s ?
Policzyć jaka będzie prędkość, gdy t  \rightarrow  \infty. W obliczeniach przyjąć, że u =
 4 [ \frac{kg}{s}] oraz, że v(0)=0

Według mnie, trzeba rozwiązać równanie różniczkowe, ze zmiennymi rozdzielonymi, a potem to samo równanie z warunkiem brzegowym v(0) = 0.

Przy mojej próbuje rozwiązania zadania napotykam problem z dojściem do postaci po lewej stronie równania \frac{dv}{v}.
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2019
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 2 sty 2018, o 10:14 
Moderator
Avatar użytkownika

Posty: 3350
Lokalizacja: Warszawa
Po lewej będziesz miał:
m \frac{dv}{mg - uv}=\frac{dv}{g - \frac{u}{m}v}.

A jednostek nie piszemy w nawiasie.
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 2 sty 2018, o 10:27 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 41
Lokalizacja: Warszawa
Czyli tok jest następujący :

m \frac{dv}{dt} = mg - uv

m \frac{dv}{mg - uv } = dt

\frac{dv}{g -  \frac{u}{m} v } =  \frac{dt}{m}

I teraz mogę całkować .., a po prawej stronie wyciągam m przed całkę, bo traktuje to jako stałą, a dokladniej to wyciągam \frac{1}{m}. Wynik całkowania prawej strony równania to po prostu nasz czas t. I za niego postawiam wartość 5 sekund. Prosiłbym o pomoc z całką :

\int_{}^{} \frac{dv}{g -  \frac{u}{m} v }
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 2 sty 2018, o 11:16 
Moderator
Avatar użytkownika

Posty: 3350
Lokalizacja: Warszawa
Jak już wyciągniesz m z mianownika z lewej to się ono skróci i nie będzie już po prawej i zostanie samo dt. Co do całki: zrób podstawienie w=g-\frac{u}{m}v.
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 2 sty 2018, o 12:21 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 41
Lokalizacja: Warszawa
Powinienem zrobić te zadanie dzisiaj, a grypa żołądkowa mi w tym nie pomaga. Część dalsza rozważań :

równanie powinno wyglądać tak :

\frac{dv}{g -  \frac{u}{m} v } =  dt

\int_{}^{} \frac{dv}{g -  \frac{u}{m} v } =  \int_{}^{}  dt

t =g -  \frac{u}{m} v

jako, że stosunek \frac{u}{m} = 2 to też,

t =g -  2 v
dt = - 2dv
- \frac{1}{2}dt  =dv

następnie rozwiązuje całkę:

- \frac{1}{2} \int_{}^{}  \frac{1}{t} dt

wszystko się zgadza ?
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 2 sty 2018, o 13:04 
Moderator
Avatar użytkownika

Posty: 3350
Lokalizacja: Warszawa
Tak, tylko oznaczanie nowej zmiennej całkowania przez t uznałbym za dość ryzykowne :wink:
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 2 sty 2018, o 13:18 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 41
Lokalizacja: Warszawa
Rzeczywiście hahahaha, przywyczajenie do oznaczeń za czasów studiów... mamy już jedno t
Idąc tropem :


- \frac{1}{2} \int_{}^{}  \frac{1}{w} dw

- \frac{1}{2}  \cdot  \ln \left| w\right| + C
stąd możemy ułożyć równanie :
- \frac{1}{2}  \cdot  \ln \left| g - 2v\right| + C = t

Tutaj będą duże opory, mimo, że jestem pewny, że rozwiązanie jest infantylnie proste. Pewnie widzisz, że wkładam jakiś wysiłek, dlatego proszę też o dokończenie w celu wydedukowania metodologi rozwiązania takiego zadania... niczego podobnego też tu nie znalazłem ( bardzo podobnego ) dlatego innym się przyda, tak sądzę.

-- 2 sty 2018, o 14:00 --

AiDi, Chciałem dodać też.., że im większa siła jest przyłożona, tym większy opór napotykasz.. szczególnie w matematyce :)
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 2 sty 2018, o 15:39 
Moderator
Avatar użytkownika

Posty: 3350
Lokalizacja: Warszawa
Piszę z telefonu, więc na chwilę obecną mogę dać tylko opis słowny: przenieś stałą na drugą stronę, pozbądź się ułamka przy logarytmie, skorzystaj z definicji logarytmu, wywikłaj v (wyrażenie pod modułem jest dodatnie). Następnie z warunków brzegowych znajdź stałą całkowania.
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 2 sty 2018, o 23:04 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 41
Lokalizacja: Warszawa
Mógłbyś to rozpisać ?
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 2 sty 2018, o 23:08 
Moderator
Avatar użytkownika

Posty: 3350
Lokalizacja: Warszawa
- \frac{1}{2} \cdot \ln \left| g - 2v\right| + C = t,\\
 - \frac{1}{2} \cdot \ln \left| g - 2v\right| = t+C_1,\\
\ln \left| g - 2v\right|=-2(t+C_1),\\
\left| g - 2v\right|=e^{-2(t+C_1)},\\
g-2v=e^{-2(t+C_1)},\\
v(t)=\frac{g}{2}-\frac{1}{2}e^{-2(t+C_1)}.

Dalej warunki brzegowe.
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 2 sty 2018, o 23:28 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 41
Lokalizacja: Warszawa
Pipers napisał(a):
Policzyć jaka będzie prędkość, gdy t  \rightarrow  \infty. W obliczeniach przyjąć, że u =
 4 [ \frac{kg}{s}] oraz, że v(0)=0



Jak odnieść się do nieskończoności ? Tak samo jak liczyło się granice podstawić pod t w równaniu \infty ?
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 2 sty 2018, o 23:39 
Moderator
Avatar użytkownika

Posty: 3350
Lokalizacja: Warszawa
Nie (tzn. nie do końca wiem co masz na myśli), trzeba wziąć granicę rozwiązania przy t\rightarrow \infty. To funkcja wykładnicza, ma asymptotę, itd. Prędkość w "nieskończoności" jest tym co zwykle nazywa się 'prędkością graniczną'. W rzeczywistości osiągana jest oczywiście dużo szybciej. Co wynika z tego, że rzeczywista siła oporu zależy też od wartości prędkości w wyższych potęgach, przy których 'asymptotyczność' zanika.
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 2 sty 2018, o 23:45 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 41
Lokalizacja: Warszawa
Szczerze napiszę, że nie wiem jak to zrobić.. mógłbyś to rozpisać ? Może obliczyć w powyższych równaniach całkę oznaczoną od 0 do \infty ? AiDi, Swoją drogą gdzie można znaleźć takie zadania z treścią z równań różniczkowych ?
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 2 sty 2018, o 23:50 
Moderator
Avatar użytkownika

Posty: 3350
Lokalizacja: Warszawa
Przedstaw proszę wzór na v(t) bo nie miałem kiedy wyznaczyć stałej całkowania. A gdzie znaleźć? Dobre pytanie, możliwe że coś u Krysickiego się znajdzie. Ja to głównie miałem na wykładzie z Mechaniki I, ale był to taki czas że ze zbiorów zadań nie korzystałem w ogóle, więc nic na teraz nie przytoczę. Może inni mają coś pod ręką.
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 2 sty 2018, o 23:56 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 41
Lokalizacja: Warszawa
AiDi napisał(a):
v(t)=\frac{g}{2}-\frac{1}{2}e^{-2(t+C_1)}.


Myślałem, że to jest równanie jakie powinno być ? Co mogło się dodać do stałej całkowania ? Naprawdę nie rozumiem.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 26 ]  Przejdź na stronę 1, 2  Następna strona


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Obliczenie laplasjanu  gfs9440  3
 obliczenie optymalnego y z danego warunku - przeksztalcenia  doctore  4
 czemu znika x przy całkowaniu  kb12  2
 przyrost predkości, jak policzyć?  ludorq12  1
 Obliczenie zysku przy zadanej stopie oprocentowania.  Pipers  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl