szukanie zaawansowane
 [ Posty: 3 ] 
Autor Wiadomość
Kobieta
PostNapisane: 30 gru 2017, o 23:28 
Użytkownik

Posty: 16
Lokalizacja: Łomża
Witam.
Mam za zadanie sprawdzić warunki Cauchy'ego-Riemanna dla funkcji logarytmicznej f(z)=\ln z .

Niech z=x+yi
Wiemy, że:
f(z)=\ln z=\ln(\sqrt{x^2+y^2}) + i \cdot arg(z)
I tu zaczynam się gubić, to teraz wydaje mi się, że częścią rzeczywistą, czyli naszą funkcją u jest po prostu logarytm, a częścią urojoną \arg z? Ale przecież to stała, więc pochodna będzie 0 , bez względu czy jest po x czy po y ? A po funkcji u stałą nie będzie, a przecież logarytm jest funkcją różniczkowalną.

Chyba coś namotałam, bardzo proszę o pomoc.
Pozdrawiam. :)
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 31 gru 2017, o 00:08 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 2255
Lokalizacja: hrubielowo
Argument liczby nie jest funkcją stałą zobacz tu.

Jeśli

\arg z=\arctg\left( \frac{y}{x} \right)

to

f(z)=\ln \sqrt{x^2+y^2}+i\arctg\left( \frac{y}{x} \right)
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 31 gru 2017, o 00:20 
Użytkownik

Posty: 4940
Niech z = re^{i\theta}, \ r>0, \ -\pi< \theta< \pi .

\ln(z) = \ln(r) + i \theta

u(r, \theta) = \ln(r), \ v(r, \theta) = \theta

\frac{ \partial u}{ \partial r}= \frac{1}{r} = \frac{1}{r}\cdot 1= \frac{1}{r}\left(\frac{\partial v}{\partial \theta}\right)

\frac{\partial v}{\partial r} = 0 = -\frac{1}{r}\cdot 0 = -\frac{1}{r}\left(\frac{\partial u}{\partial \theta}\right)
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 3 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Residum funkcji zespolonej  major321  0
 Całka funkcji zespolonej w kierunku dodatnim  major321  0
 Obszar holomorficzności funkcji zespolonej.  Insol3nt  8
 Istnienie funkcji zespolonej  Wojtolino  3
 Jakie są dowody na nieistnienie zer funkcji dzeta?  seiwopurk 1  0
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl