szukanie zaawansowane
 [ Posty: 8 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna
PostNapisane: 29 gru 2017, o 19:45 
Użytkownik

Posty: 149
Lokalizacja: Krakow
Dzień dobry! Wiem, że jest taki wzór na całkę: \int_{}^{}  \frac{ \mbox{d}x }{ \sqrt{ x^{2} +  a^{2}  } } = \ln \left|x + \sqrt{ x^{2} +  a^{2}\right| + C. Proszę wyjaśnić, jak go wyprowadzić.
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2019
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 29 gru 2017, o 20:02 
Użytkownik

Posty: 16622
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podstaw
t=x+\sqrt{x^2+a^2}
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 29 gru 2017, o 20:07 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 13931
Lokalizacja: Wrocław
Bardzo proszę.

\int_{}^{} \frac{ \mbox{d}x }{ \sqrt{ x^{2} + a^{2} } } =\left|\begin{array} \ x=a\sinh t\\ \,\dd x=a\cosh t  \end{array} \right|= \int_{}^{}1 \,\dd t=t+C
Zakładam tu, że a>0 , żeby się nie szamotać ze znakami.
Popatrzmy:
\sinh t=\frac{e^t-e^{-t}}{2} ,
zatem x=a\sinh t \Leftrightarrow \frac x a=\sinh t
i jeżeli u=\sinh t= \frac{e^t-e^{-t}}{2} ,
to 2e^t \cdot u=e^{2t}-1 , tj.
kładąc z=e^t mamy równanie kwadratowe zmiennej z:
z^2-2z \cdot u-1=0 \\ \Delta=4u^2+4>0\\ z= \frac{2u\pm \sqrt{4u^2+4}}{2}\\ z=u\pm \sqrt{u^2+1}
Skoro jednak z=e^t i t\in \RR , to z>0 , zaś u+\sqrt{u^2+1}>0 oraz u-\sqrt{u^2+1}<0 ,
więc wybieramy tę pierwszą możliwość.
Tj. otrzymaliśmy:
z=u+\sqrt{u^2+1}\\ e^t=u+\sqrt{u^2+1}\\ t=\ln\left( u+\sqrt{u^2+1}\right)
Jeżeli teraz u=\frac{x}{a}, \ a>0 , to
t=\ln\left( \frac x a+\sqrt{ \frac{x^2}{a^2}+1 }\right) =\ln\left( \frac 1 a\left( x+\sqrt{x^2+a^2}\right) \right)=
=\ln\left( x+\sqrt{x^2+a^2}\right)-\ln (a) , czy jakoś tak.
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 29 gru 2017, o 20:50 
Użytkownik

Posty: 149
Lokalizacja: Krakow
Premislav, oh, wyszło trochę skomplikowanej niż myślałem, ale dziekuję!
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 29 gru 2017, o 21:35 
Użytkownik

Posty: 16622
Lokalizacja: Bydgoszcz
Cóż, mój sposób jest prostszy, ale wymaga trochę pracy od autora wątku. :)
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 29 gru 2017, o 22:13 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 2173
Lokalizacja: hrubielowo
Sposób 3 z pozdrowieniami dla mariuszma (mnie przekonała).

\int_{}^{} \frac{ \mbox{d}x }{ \sqrt{ x^{2} + a^{2} } } =\left|\begin{array} \ x=a\tg t\\ \,\dd x= a\left( 1+\tg^2t\right) \mbox{d}t \end{array} \right|= \int_{}^{} \frac{1+tg^2x }{ \sqrt{1+tg^2x}} \mbox{d}t= \int_{}^{} \frac{1}{\cos t} \mbox{d}t

Całkę liczymy podstawieniem uniwersalnym s=\tg \frac{t}{2} .

\int_{}^{} \frac{1}{\cos t} \mbox{d}t=\ln\left| \tg t+ \frac{1}{\cos t} \right| +C

Na koniec wracamy z podstawianiem do zmiennej x , co da:

\int_{}^{} \frac{ \mbox{d}x }{ \sqrt{ x^{2} + a^{2} } }=\ln\left| \tg \arctg \frac{x}{a}+\frac{1}{\cos \arctg \frac{x}{a} }\right|+C

Jako zadanie dla czytelnika zostawiam pokazanie równości:

\tg \arctg \frac{x}{a}+\frac{1}{\cos \arctg \frac{x}{a} }= \frac{x+ \sqrt{x^2+a} }{a} ,

która dokończy dowód.
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 29 gru 2017, o 22:21 
Użytkownik

Posty: 16622
Lokalizacja: Bydgoszcz
t=x+\sqrt{x^2+k}
dt=\left(1+\frac{x}{\sqrt{x^2+k}}\right) dx=\frac{\sqrt{x^2+k}+x}{\sqrt{x^2+k}}dx=\frac{t}{\sqrt{x^2+k}}dx
czyli
\int\frac{dx}{\sqrt{x^2+k}}=\int\frac{dt}{t}=...
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 12 mar 2018, o 00:54 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 6685
Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
Podstawieniami Eulera można całki postaci

\int{R\left( x,\sqrt{ax^2+bx+c}\right)  \mbox{d}x }

sprowadzić do całek z funkcyj wymiernych

a także znaleźć tzw podstawienie uniwersalne dla całek postaci

\int{R\left( \cos{x},\sin{x}\right)  \mbox{d}x }

Podstawienia cyklometryczne po zapisaniu trójmianu kwadratowego w postaci kanonicznej sprowadzą całki postaci \int{R\left( x,\sqrt{ax^2+bx+c}\right)  \mbox{d}x }
do całek postaci \int{R\left( \cos{x},\sin{x}\right)  \mbox{d}x }
Widziałem też że amerykańcy używają go do całkowania ułamka prostego
ale to jest kiepskie podejście pod względem metodyki nauczania bo
całki postaci \int{R\left( \cos{x},\sin{x}\right)  \mbox{d}x }
często wymagają znajomości całkowania funkcyj wymiernych więc podstawienia cyklometryczne
powinny być wprowadzane później więc do całkowania tego ułamka prostego
proponuję wzór redukcyjny bądź wzór Ostrogradskiego na wydzielenie części wymiernej całki

U Kuratowskiego (Monografie matematyczne tom 15.)
analiza matematyczna jest na poziomie licealnym
(Ja miałem wszystko co u Kuratowskiego w szkole średniej )
Nieco więcej analizy masz w skrypcie Banacha
Tylko te książki elektroniczne znalazłem do ściągnięcia za darmo
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 8 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Wyznaczyć całkę ogólną - zadanie 2  kaktusfree  1
 Wyznaczyć całke szczególną - zadanie 3  OlSKI  1
 znaleźć całkę szczególną - zadanie 4  iwona03  9
 Wyznacz całkę ogólną równania  lanrof  1
 jak rozwiązac całkę - zadanie 4  cziken920228  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl