szukanie zaawansowane
 [ Posty: 13 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna
PostNapisane: 28 gru 2017, o 15:06 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 41
Lokalizacja: Warszawa
W cylindrycznym otwartym zbiorniku o promieniu R=0,5\:m wypełnionym początkowo wodą do wysokości H = 1\:m względem dna zbiornika zrobiono w dnie otwór o promieniu r=0,02\:m . Woda wypływa przez ten otwór zgodnie z prawem Torricellego:

\frac{dh}{dt}=- \frac{ S_{r} }{ S_{R} } \sqrt{2gh}

gdzie:
S_{r} – pole powierzchni przekroju otworu w dnie,
S_{R} – pole powierzchni przekroju zbiornika,
h – wysokość wody w zbiorniku w czasie t\:[s] .

Po jakim czasie zbiornik będzie pusty?

Na początku trzeba policzyć pola powierzchni, a następnie rozwiązać zadanie przy użyciu równania różniczkowego.

Pole powierzchni przekroju zbiornika to:
S_{R} =dH=1 \cdot 1 = 1 m^{2}

Pole powierzchni przekroju otworu w dnie to:
S_{r}= \pi r^{2}=0,001256\:m^{2} (edytowane, było źle wcześniej)
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2019
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 28 gru 2017, o 15:14 
Użytkownik

Posty: 16622
Lokalizacja: Bydgoszcz
S_R chyba żle policzyłeś (co ma wysokość do pola przekroju poprzecznego walca?)

Z czym masz problem?

Pole otworu w dnie też źle.
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 28 gru 2017, o 15:31 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 41
Lokalizacja: Warszawa
Pole przekroju walca to P= 2 \cdot r \cdot h , zgadza się? Możesz mi rozjaśnić? Studiowałem Elektrotechnikę i równań różniczkowych używaliśmy jedynie do rozwiązywania obwodów elektrycznych. :) W dużo innej postaci... można rzec, łopatologicznie. ;)
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 28 gru 2017, o 16:09 
Użytkownik

Posty: 16622
Lokalizacja: Bydgoszcz
Ale tam chodzi o przekrój poziom.

Dostaniesz równanie o rozdzielonych zmiennych, które się całkuje standardowymi metodami.
Opis znajdziesz w każdym podręczniku, a i na tym forum znajdziesz przykłady.
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 29 gru 2017, o 12:02 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 41
Lokalizacja: Warszawa
Dobra... Napisałem wzory na przekrój pionowy – nie wysypiam się ostatnio.
Proszę rozwiń moją myśl:

\frac{dh}{dt}=- \frac{ S_{r} }{ S_{R} } \sqrt{2gh}

dh=- \frac{ S_{r} }{ S_{R} } \sqrt{2gh} \cdot dt

\frac{dh}{\sqrt{2gh} } =- \frac{ S_{r} }{ S_{R} } \cdot dt
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 29 gru 2017, o 12:09 
Użytkownik

Posty: 16622
Lokalizacja: Bydgoszcz
No i scałkuj.
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 2 sty 2018, o 08:48 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 41
Lokalizacja: Warszawa
Myślę, że trzeba iść w tym kierunku, bardzo proszę o pomoc z rozwiązaniem tych całek.

\int_{}^{} \frac{dh}{ \sqrt{ \frac{dh}{2gh} } }= - \frac{ S_{r} }{ S_{R} } \int_{}^{} dt

Jeżeli chodzi o prawą stronę to wyrzuciłem według mnie stałą przed całkę wraz ze znakiem i powinienem skorzystać następnie z wzoru.

\int_{}^{} dx = x + C

Czyli moje równanie byłoby następujące :

\int_{}^{} \frac{dh}{ \sqrt{ \frac{dh}{2gh} } }= - \frac{ S_{r} }{ S_{R} }  \cdot ( t + C)
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 2 sty 2018, o 10:03 
Użytkownik

Posty: 16622
Lokalizacja: Bydgoszcz
A skąd masz taką smiesznosc pod pierwiastkiem?
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 2 sty 2018, o 10:09 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 41
Lokalizacja: Warszawa
Znowu się nie wysypiam... już poprawiam

-- 2 sty 2018, o 10:15 --

\int_{}^{}  \frac{dh}{ \sqrt{2gh} } = - \frac{ S_{r} }{ S_{R} }  \cdot ( t + C)

ln\left| \sqrt{2gh}\right| = - \frac{ S_{r} }{ S_{R} }  \cdot ( t + C)

ln\left| \sqrt{2gh}\right| = - \frac{ S_{r} }{ S_{R} }  \cdot ( t + C)

t =  \frac{ln\left| \sqrt{2gh}\right|}{-\frac{ S_{r} }{ S_{R} }}

Czy to jest nasz czas t ?
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 2 sty 2018, o 10:48 
Użytkownik

Posty: 16622
Lokalizacja: Bydgoszcz
To nie jest tak, że całka z jeden przez cokolwiek to logarytm tego cokolwiek
Zadaj sobie trochę trudu i poszperaj w żródłąch
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 2 sty 2018, o 12:40 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 41
Lokalizacja: Warszawa
a4karo napisał(a):
To nie jest tak, że całka z jeden przez cokolwiek to logarytm tego cokolwiek
Zadaj sobie trochę trudu i poszperaj w żródłąch


Zadałem sobię trochę trudu, ale dobry w całkach nie jestem, i nie jest to też obiekt mojej pracy zawodowej mimo, że często spotykam się choćby z całką Joule'a :)
Będziemy rozwiązywać tę całkę przez podstawienie ( robiłem swojego czasu nawet całki potrójne, pozwólcie koledze wrócić do wprawy w metodologii )

t =  \sqrt{2gh}

liczę z tego pochodną... zgadza się ?


tylko, że g= const , mogę to zapisać już jako t =  \sqrt{19,6h}
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 2 sty 2018, o 13:58 
Użytkownik

Posty: 1477
Lokalizacja: Kraków
Jasne, możesz sobie wstawić dane liczbowe.

Można to policzyć przez podstawienie, ale nie ma takiej potrzeby. Zauważmy, że \int_{}^{} \frac{\dd h}{ \sqrt{2gh} } = \frac{1}{\sqrt{2g}} \int \frac{\dd h}{\sqrt{h}} =  \frac{1}{\sqrt{2g}} \int h^{- \frac{1}{2}} \dd h, wystarczy teraz przypomnieć sobie podstawowy wzór na \int x^a \dd x i mamy rozwiązanie.
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 2 sty 2018, o 14:34 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 41
Lokalizacja: Warszawa
NogaWeza, propsy za nick, proszę o sprawdzenie wyniku:

\frac{ \frac{1}{ \sqrt{2gh} }  \cdot ( \frac{ h^{ \frac{1}{2} } }{0,5}) }{ -\frac{S _{r}}{S _{R}} } = t


i to w kalkulator ? pod h podstawiam 1, pod S _{R} = 0,785

pod S _{r} = 0,001256

CZAS NIE MOŻE WYJŚĆ UJEMNY......... TAK MI SIĘ WYDAJE !

a4karo, Mógłbyś potwierdzić rozwiązanie ? Wydaję się w porządku.

-- 3 sty 2018, o 09:38 --
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 13 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Obliczenie czasu oczyszczenia basenu.  Pipers  2
 obliczenie oryginału  monaliza1615  2
 Obliczenie różniczki.  evelyn1204  1
 Obliczyć ile czasu upłyneło od śmierci do znalezienia zwłok  Pipers  2
 Obliczenie odpowiedzi impulsowej i skokowej.  maxlin07  4
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl