szukanie zaawansowane
 [ Posty: 4 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna
PostNapisane: 28 gru 2017, o 12:51 
Użytkownik

Posty: 55
Lokalizacja: Polska
Znajdź ekstremale funkcjonału:

F(u)= \int_{-4}^{4} \sqrt{u(1+u'^2)}\:dx \\
u(-4)=5 \\
u(4)=5
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2019
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 28 gru 2017, o 14:26 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 3698
Lokalizacja: blisko
Trzeba rozwiązać równanie różniczkowe:

\frac{d}{dx}\left( \frac{\partial L}{\partial u'} \right)- \frac{\partial L}{\partial u}=0

dla funkcji:

L(u,u',x)= \sqrt{u(1+u'^2)}

Ale, że L bezpośrednio nie zależy od: x , to można napisać to równanie w wersji uproszczonej, a mianowicie:

u' \frac{\partial L}{\partial u'}-L=C

\frac{\partial L}{ \partial u'}= \frac{uu'}{ \sqrt{u+uu'^2} }

i otrzymujesz:

\frac{uu'^2}{\sqrt{u+uu'^2}}- \sqrt{u+uu'^2}=C

Jak poskracasz, otrzymasz:

C+Cu'^2=u

a po rozdzieleniu zmiennych otrzymasz:

\sqrt{C} \frac{du}{ \sqrt{u-C} }=dx

Dalej sobie poradzisz...
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 29 gru 2017, o 14:56 
Użytkownik

Posty: 55
Lokalizacja: Polska
arek1357 napisał(a):
a po rozdzieleniu zmiennych otrzymasz:

\sqrt{C} \frac{du}{ \sqrt{u-C} }=dx

Dalej sobie poradzisz...

Właśnie z tym mam problem... Proszę o przedstawienie dalszej części obliczeń.
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 30 gru 2017, o 02:48 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 3698
Lokalizacja: blisko
\sqrt{C} \int_{}^{} \frac{du}{ \sqrt{u-C} }= \int_{}^{} dx

2 \sqrt{C} \sqrt{u-C}=x+C_{1}

Z tego:

u=C+ \frac{(x+C_{1})^2}{4C}

Z warunków początkowych wyliczysz:

C, C_{1} .
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 4 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Ekstremala Funkcjonału  Arlan  4
 Ekstremala funkcjonału - zadanie 3  Spider49  1
 Ekstremum funkcjonału - zadanie 6  krzyweldi  3
 Wyznacz ekstremale funkcjonału.  fluffiq  3
 Znajdź ekstremale funkcjonału  mat06  0
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl