szukanie zaawansowane
 [ Posty: 7 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna
PostNapisane: 21 gru 2017, o 02:40 
Użytkownik

Posty: 125
Lokalizacja: Poznań
Poszukuję wsparcia w rozwiązaniu tej metody metodą Eulera:

x’ = \frac{x}{t}– x^2\\
x(1)=1\\
 1 \le t \le 2
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2019
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 21 gru 2017, o 04:56 
Moderator

Posty: 4211
Lokalizacja: Kraków PL
Podstawowa metoda Eulera.

Najważniejszy wzór będzie u Ciebie wyglądał tak:

    x(t_{n+1})=x(t_n)+f\,'\left(x(t_n),t_n)\right)\cdot\Delta t

Trzeba przyjąć jakieś \Delta t (w Wikipedii h ). Dla \Delta t=0,2 i 1< t\le2 będziesz miał 5 iteracji.
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 21 gru 2017, o 19:53 
Użytkownik

Posty: 125
Lokalizacja: Poznań
Próbuje rozwiązać to zdanie i mam problem:

\frac{dx}{dt} = \frac{x}{t} -x^2

Zrobiłem tak:

\frac{dx}{dt} - \frac{x}{t} = -x^2
\frac{dx}{dt} - \frac{x}{t} = 0

wyliczyłem:

x = Ct

uzmienniłem stałą:

x = C(t)t

i potem liczę (podstawiając do 1 równania) i dochodzę do momentu:

\frac{dC\left( t\right) }{dt} \cdot t + C\left( t\right) - C\left( t\right) = (???)

Co powinno być w miejscu (???) ?

bo gdy w miejsce (???) wstawię:

x^2 = (C\left( t\right)t)^2

to wychodzi mi równanie:

\frac{dC\left( t\right) }{dt} =- C^2\left( t\right)t

i nie bardzo wiem jak to obliczyć :/
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 21 gru 2017, o 20:58 
Moderator

Posty: 4211
Lokalizacja: Kraków PL
Źle rozwiązujesz to równanie. Ze względu na x^2 jest to równanie nieliniowe.

Jego rozwiązanie analityczne jest następujące:

    x(t)=\frac{2t}{C+t^2}

Ale równanie to masz rozwiązać metodą numeryczną opisaną w podanym linku, czyli sporządzić tabelkę:

    \begin{tabular}{|r|r|}
\hline
t&x(t) \\
\hline
1,0&1,000000 \\
1,2&1,000000 \\
1,4&0,966667 \\
1,6&0,917873 \\
1,8&0,864109 \\
2,0&0,810784 \\ \hline
 \end{tabular}
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 21 gru 2017, o 21:02 
Użytkownik

Posty: 125
Lokalizacja: Poznań
SlotaWoj napisał(a):
Źle rozwiązujesz to równanie. Ze względu na x^2 jest to równanie nieliniowe.

Jego rozwiązanie analityczne jest następujące:

    x(t)=\frac{2t}{C+t^2}

Ale równanie to masz rozwiązać metodą numeryczną opisaną w podanym linku, czyli sporządzić tabelkę:

    \begin{tabular}{|r|r|}
\hline
t&x(t) \\
\hline
1,0&1,000000 \\
1,2&1,000000 \\
1,4&0,966667 \\
1,6&0,917873 \\
1,8&0,864109 \\
2,0&0,810784 \\ \hline
 \end{tabular}


Tak tak, tylko by przejść do tego punktu powinienem mieć rozwiązanie dokładne. Zwłaszcza, że poza metoda Eulera muszę rozwiązać to m.in metoda Taylora.
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 21 gru 2017, o 21:13 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 13930
Lokalizacja: Wrocław
Spójrzmy:

\frac{dx}{dt} - \frac{x}{t} =-x^2

Ja bym to robił tak:

Połóżmy x=tu , a otrzymamy:

u+ t\frac{du}{dt} -u=-(tu)^2\\-\frac{1}{u^2}\frac{\,\dd u}{\,\dd t}=t\\ \frac{1}{u}=\frac{t^2}{2}+C\\u(t)= \frac{1}{\frac{t^2}{2}+C}\\ x(t)=\frac{2t}{t^2+C'}

gdzie C' to stała.
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 21 gru 2017, o 21:38 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 6685
Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
Premislav, ja tutaj widziałem równanie Bernoulliego, a nie jednorodne, ale jakoś przypadkowo podstawienie które podałeś zadziałało.

SlotaWoj napisał(a):
Źle rozwiązujesz to równanie. Ze względu na x^2 jest to równanie nieliniowe.

Tak, ale jest Bernoulliego, a widziałem na tym forum, jak jeden rozwiązywał równanie Bernoulliego uzmiennieniem stałej.

192255.htm#p706863

Jak ktoś lubi czynnik całkujący, to istnieje czynnik całkujący o rozdzielonych zmiennych.

254966.htm#p960875

frac{dx}{dt}-frac{x}{t} = -x^2\
muleft( t,x
ight)=exp{left( left( 1-2
ight)int{frac{-1}{t}} 
ight) } x^{-2}\
muleft( t,x
ight)=e^{ln{left| t
ight| }} cdot frac{1}{x^2}\
muleft( t,x
ight)=frac{t}{x^2}\

Można je sprowadzić do liniowego podstawieniem:

frac{dx}{dt} = frac{x}{t} -x^2\
-frac{1}{x^2}frac{dx}{dt}=-frac{1}{t} cdot frac{1}{x} +1\
u=frac{1}{x}\
frac{du}{dt}=-frac{1}{x^2}frac{dx}{dt}\
frac{du}{dt}=-frac{u}{t}+1\
frac{du}{dt}+frac{u}{t}=1\

Teraz równanie jest zarówno liniowe jak i jednorodne.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 7 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Równanie różniczkowe  Anonymous  6
 Równanie Hamiltona-Jacobiego  Pikaczu  0
 rownanie linii lancuchowej  bisz  1
 Równanie różniczkowe - zadanie 10  niebieski  0
 równanie różniczkowe Clairauta - zadanie 2  qaz  4
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl