szukanie zaawansowane
 [ Posty: 5 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna
PostNapisane: 17 gru 2017, o 23:40 
Użytkownik

Posty: 125
Lokalizacja: Poznań
Potrzebuje pomocy w rozwiązaniu takiego równania:

y' =\frac{y}{x+y^3}
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 17 gru 2017, o 23:45 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 18644
Lokalizacja: Cieszyn
Rozważmy równanie odwrócone. Mamy \frac{\dd x}{\dd  y}=\frac{x}{y}+y^2. Wstawiamy nową funkcję niewiadomą u(y)=\frac{x}{y}. Otrzymamy równanie o zmiennych rozdzielonych.
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 19 gru 2017, o 20:43 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 6695
Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
Na pewno to podstawienie rozdzieli zmienne?
Równanie nie wygląda na jednorodne.
Równanie można rozwiązywać jako liniowe.
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 19 gru 2017, o 20:47 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 18644
Lokalizacja: Cieszyn
mariuszm, mamy x=uy i różniczkując względem y mamy x'=u'y+u . Wstawiając do równania mamy u'y+u=u+y^2 , skąd u'=y (jeśli warunku początkowego nie stawiamy dla y=0 ). Jest to niewątpliwie równanie o zmiennych rozdzielonych.
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 19 gru 2017, o 21:26 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 6695
Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
Na pierwszy rzut oka tego nie zauważyłem, widziałem w tym równaniu równanie liniowe.
Jak ktoś lubi zupełne to stosunkowo łatwo jest znaleźć czynnik całkujący nawet bez odwracania tego równania.

y' =\frac{y}{x+y^3}\\
\left( x+y^3\right)y'=y\\
y-\left( x+y^3\right)y'=0\\
y \mbox{d}x -\left( x+y^3\right) \mbox{d}y=0\\
\frac{ \partial P}{ \partial y}- \frac{ \partial Q}{ \partial x}=2\\
\mu\left( x,y\right)=\varphi\left( x\right)\psi\left( y\right)\\
\frac{ \partial P}{ \partial y}- \frac{ \partial Q}{ \partial x}=-\left( x+y^3\right)f\left( x\right)-yg\left( y\right)\\
\frac{ \partial P}{ \partial y}- \frac{ \partial Q}{ \partial x}=-\left( x+y^3\right) \cdot 0-y \cdot \frac{A}{y}\\
2=-A\\
A=-2\\
\frac{ \mbox{d}\psi}{\psi}=-\frac{2}{y} \mbox{d}y\\
\ln{\left| \psi\right| }=-2\ln{\left| y\right| }\\
\psi\left( y\right)=\frac{1}{y^2}\\
\mu\left( y\right)=\frac{1}{y^2}\\

y \mbox{d}x -\left( x+y^3\right) \mbox{d}y=0\\
\frac{1}{y} \mbox{d}x -\frac{ x+y^3}{y^2} \mbox{d}y=0\\
\frac{ \partial P}{ \partial y}=-\frac{1}{y^2}= \frac{ \partial Q}{ \partial x}\\
\frac{ \partial F}{ \partial x}=\frac{1}{y}\\
F\left( x,y\right)=\frac{x}{y}+g\left(y \right)\\
\frac{ \partial F}{ \partial y}=- \frac{ x+y^3}{y^2}\\
-\frac{x}{y^2} +g'\left(y \right)=- \frac{ x+y^3}{y^2}\\
g'\left(y \right)=-y\\
g\left( y\right) =-\frac{y^2}{2}\\
F\left( x,y\right)=\frac{x}{y}-\frac{y^2}{2}\\
\frac{x}{y}-\frac{y^2}{2}=C_{1}\\
\frac{2x}{y}-y^2=C\\

Twój pomysł jest jednak całkiem niezły, bo prowadzi do równania, które poznajemy najwcześniej.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 5 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Rówanie różniczkowe - zadanie 6  mikku  13
 rówanie różniczkowe - zadanie 9  pchor  4
 Rówanie różniczkowe - zadanie 8  manpaw  10
 rówanie różniczkowe - zadanie 10  Forte  1
 rówanie różniczkowe - zadanie 11  Forte  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl