szukanie zaawansowane
 [ Posty: 3 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna
PostNapisane: 7 gru 2017, o 21:43 
Użytkownik

Posty: 88
Lokalizacja: Warszawa
Hej, pomoże mi ktoś z tym równaniem? Mam wyznaczyć rozwiązanie ogólne a jeśli to możliwe podać rozwiązanie w postaci jawnej.

(2x+y-2)dx + (2y-x+1)dy =0
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2019
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 8 gru 2017, o 00:16 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 18618
Lokalizacja: Cieszyn
Wprowadzenie nowych zmiennych 2x+y-2=u oraz 2y-x+1=v sprowadzi równanie do jednorodnego względem u,v. To z kolei równanie sprowadza się do równania o zmiennych rozdzielonych.

W II tomie Krysickiego opisane jest sprowadzenie równania tego typu bezpośrednio do równania o zmiennych rozdzielonych.
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 15 kwi 2018, o 22:07 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 6685
Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
szw1710, skąd wziąłeś te zmienne ?

W skrypcie Szlęka, Łanowego i Przybylaka zaproponowane jest podstawienie

\begin{cases}  x=u+ \alpha  \\ y=v+ \beta  \end{cases}

Po wstawieniu do równania okaże się że podstawienie y=\left( x-1\right)u
sprowadzi to równanie bezpośrednio do równania o rozdzielonych zmiennych

Zobaczmy co dostaniemy po zastosowaniu tego podstawienia

2x+y-2=u oraz 2y-x+1=v

\begin{cases} 2x+y-2=u \\ 2y-x+1=v \end{cases} \\
\begin{cases} 2x+y-2=u \\ 2y-x+1=v \end{cases} \\

\begin{cases} 2x+y-2=u \\ 2y-x+1=v \end{cases} \\
\begin{cases} 2x+y-2=u \\ 2y-x+1=v \end{cases} \\
 \begin{cases} x= \frac{1}{5}\left( 2u-v+5\right)   \\ y=\frac{1}{5}\left( u+2v\right)  \end{cases} \\
\left(\left(  \frac{2}{5}\left( 2u-v+5\right)+\frac{1}{5}\left( u+2v\right)-2\right) \cdot  \frac{2}{5}+\left(  \frac{2}{5}\left( u+2v\right)-\frac{1}{5}\left( 2u-v+5\right) +1 \right)  \frac{1}{5}\right) \mbox{d}u+\left(\left(  \frac{2}{5}\left( 2u-v+5\right)+\frac{1}{5}\left( u+2v\right)-2\right) \cdot  \frac{\left(-1 \right) }{5}+\left(  \frac{2}{5}\left( u+2v\right)-\frac{1}{5}\left( 2u-v+5\right) +1 \right)  \frac{2}{5}\right) \mbox{d}v=0\\
\frac{1}{25}\left( 8u-4v+20+2u+4v-20+2u+4v-2u+v-5+5\right) \mbox{d}u+\\ \frac{1}{25}\left( -4u+2v-10-u-2v+10+4u+8v-4u+2v-10+10\right) \mbox{d}v=0\\
\frac{1}{25}\left( 10u+5v\right) \mbox{d}u+\frac{1}{25}\left(-5u+10v \right) \mbox{d}v=0\\
\left( 2u+v\right) \mbox{d}u-\left( u-2v\right) \mbox{d}v=0\\
\left( 2u+v\right) \mbox{d}u=\left( u-2v\right) \mbox{d}v=0\\
 \frac{ \mbox{d}v}{ \mbox{d}u} =\frac{2u+v}{u-2v}\\
v=uz\\
v'=z+uz'\\
z+uz'=\frac{2u+uz}{u-2uz}\\
uz'=\frac{2+z}{1-2z}-z\\
uz'=\frac{2+z-z+2z^2}{1-2z}\\
uz'=-2\frac{1+z^2}{2z-1}\\
\frac{\left( 2z-1\right) \mbox{d}z}{1+z^2}=-\frac{2}{u} \mbox{d}u\\
\ln{\left| z^2+1\right| }-\arctan{\left( z\right) }=-2\ln{\left| u\right| }+C\\
\ln{\left| u^2\left(z^2+1\right)\right| }-\arctan{\left( z\right) }=C\\
\ln{\left| v^2+u^2\right| }-\arctan{\left( \frac{v}{u}\right) }=C
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 3 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Równanie o zmiennych rozdzielonych - zadanie 2  Yukka  4
 Równanie o zmiennych rozdzielonych - zadanie 3  bartosztroch89  1
 Równanie o zmiennych rozdzielonych - zadanie 4  Massys  5
 Równanie o zmiennych rozdzielonych - zadanie 5  gitty  3
 równanie o zmiennych rozdzielonych - zadanie 6  mm4  4
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl