szukanie zaawansowane
 [ Posty: 9 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna
PostNapisane: 5 gru 2017, o 00:43 
Użytkownik

Posty: 88
Lokalizacja: Warszawa
Witam,

mam za kilka zadań do rozwiązania związanych z działaniem grupy na zbiór, m. in.:

(i)Istnieje grupa G rzędu 125 i tranzytywne działanie tej grupy na zbiorze X mocy 30.

Patrze na to w ten sposób:
zakładam, że istnieje. Jeśli działanie jest tranzatywne, to ma jedną orbite.
Wtedy mamy, że \left| X\right| =\left[ G:G_{x_1}\right]=\left| G(x_1)\right| =30, ale 30 nie dzieli 125, więc nie ma takiego działania.

(ii)Dla każdej grupy G rzędu 125 istnieje działanie tej grupy na zbiorze X mocy 30 bez punktu stałego.

Jeśli istnieje działanie grupy G na X, to moc zbioru punktów stałych \left| X^G\right| \equiv \left| X\right| \pmod 5, bo \left| G\right| =5^3.
Więc tych punktów stałych jest 5k, \ k=0 \vee 1 \vee 2 \vee 3 \vee 4 \vee 5 \vee 6. Dalej w sumie nie wiem jak to pociągnąć.
Jak w ogóle sprawdzić, czy takie działanie istnieje? Homomorfizm przeprowadza podgrupe na podgrupe, musiałbym pokazać, że w grupie \Sigma _X istnieją podgrupy tych samych rzędów co w G?

(iii)Istnieje działanie grupy \Sigma _5 bez punktów stałych na zbiorze 20–elementowym.

Tutaj w ogóle nie wiem. Niby musi być, że 20=\left[ G:G_x_1\right] +...+\left[ G:G_x_n\right], gdzie G\left( x_1\right),...,G\left( x_n \right) to wszystkie parami różne wszystkie orbity działania, jednak rzędy podgrup mogą się sumować do 20, więc nie wiem jak dojść do sprzeczności, lub potwierdzić.


Trochę brak mi intuicji co do algebry jak widać


Podaje legendę, gdyby ktoś miał inne oznaczenia
\Sigma _X - zbiór bijekcji zbioru X w siebie
X^G zbiór punktów stałych działania grupy G na zbiorze X
G\left( x\right)-orbita punktu x
G_x-grupa izotropii pkt. x
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2019
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 5 gru 2017, o 01:38 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 3107
Lokalizacja: Radom
1) ok


2) Przeciez masz zalozenie, ze ma nie byc punktow stalych, to po co Ci ta
Cytuj:
eśli istnieje działanie grupy G na X, to moc zbioru punktów stałych \left| X^G\right| \equiv \left| X\right| \pmod 5, bo \left| G\right| =5^3.
Więc tych punktów stałych jest 5k, \ k=0 \vee 1 \vee 2 \vee 3 \vee 4 \vee 5 \vee 6. Dalej w sumie nie wiem jak to pociągnąć.
Jak w ogóle sprawdzić, czy takie działanie istnieje?
analiza?

Odpoiwedz brzmi tak. Zacznij od dzialania G na zbiorze warstw G/K, gdzie K jest podgrupa rzedu K

Cytuj:
musiałbym pokazać, że w grupie \Sigma _X istnieją podgrupy tych samych rzędów co w G?

niee


Cytuj:
(iii)Istnieje działanie grupy \Sigma _5 bez punktów stałych na zbiorze 20–elementowym.

A czy istnieje dzialanie \Sigma _5 na zbiorze 5 - elementowym bez punktow stalych?
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 5 gru 2017, o 01:57 
Użytkownik

Posty: 88
Lokalizacja: Warszawa
leg14 napisał(a):
Cytuj:
(iii)Istnieje działanie grupy \Sigma _5 bez punktów stałych na zbiorze 20–elementowym.

A czy istnieje dzialanie \Sigma _5 na zbiorze 5 - elementowym bez punktow stalych?

odpowiedziałbym, że tak.
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 5 gru 2017, o 02:02 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 3107
Lokalizacja: Radom
No to podziel X na X_1 \cup ... \cup X_5 i na kazdym dzialaj tak samo
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 5 gru 2017, o 02:20 
Użytkownik

Posty: 88
Lokalizacja: Warszawa
Ale mówiąc, że odpowiedziałbym, że tak, to bardziej na czuja odpowiadam, a nie rozumiem czemu. Tzn. zbiór \Sigma _5 i \Sigma_X są równoliczne, więc w ogóle to sa izomorficzne. Nie ma punktu stałego, bo zawsze jest bijekcja która przeprowadzi dowolny pkt x na inny pkt y.
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 5 gru 2017, o 09:01 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 3692
Lokalizacja: blisko
Zaraz zaraz co do punktu drugiego mam pytanie jaka grupa rzędu 125 wykonuje działanie na zbiorze 30 elementowym?
Jakby to wyglądało w podziale na cykle?
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 5 gru 2017, o 13:50 
Użytkownik

Posty: 88
Lokalizacja: Warszawa
arek1357, moglbys wytlumaczyc o co Ci chodzi?
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 5 gru 2017, o 18:35 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 3692
Lokalizacja: blisko
Leg napisał, że spełnia punkt drugi jakaś grupa 125 elementowa, a ja się pytam jaka?
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 5 gru 2017, o 19:06 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 3107
Lokalizacja: Radom
Wez H,K < G, gdzie |K| =25 i |H| =5
X = G/K  \cup G/H. I standardowe dzialanie na wartstwach przez mnozenie z lewej
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 9 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Równanie w grupie permutacji  Drzewo18  1
 Własności działania w zbiorze A  lazar30  1
 element neutralny działania - zadanie 3  karolynqaa  4
 wytłumaczenie łączności działania  dsadf  3
 Potęgowanie działania modulo - dowód  Szczech  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl