szukanie zaawansowane
 [ Posty: 7 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna
PostNapisane: 30 lis 2017, o 23:39 
Użytkownik

Posty: 55
Lokalizacja: Polska
Wyznaczyć rodzinę krzywych ortogonalnych do podanej rodziny krzywych:

y^2=cx^3

Chcąc rozwiązać to zadanie zaczynam od spierwiastkowania y-ka, czy nie muszę tego zrobić?

Licząc po spierwiastkowaniu y=cx^{\frac{3}{2} otrzymałem, że:
\frac{3y^2}{2}+x^2=c

Licząc bez pierwiastkowania y:
y^3+x^2=c

Który sposób jest poprawny?
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2019
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 1 gru 2017, o 10:58 
Użytkownik

Posty: 4787
W celu znalezienia rodziny krzywych ortogonalnych, czyli trajektorii przecinających rodzinę krzywych pod kątem prostym należy:

- wyznaczyć (wyrugować) parametr c z układu równań:

y = \pm c\cdot x^{\frac{3}{2} (1)

y' = \pm \frac{3}{2}c\cdot x^{\frac{1}{2} (2)

Dzielimy stronami równania (1) , (2)

\frac{y}{y'} = \frac{2}{3}x (3)

- zastąpić w równaniu (3) y' przez -\frac{1}{y'}

ydy +\frac{2}{3}x dx =0.

Jakie krzywe są trajektoriami ortogonalnymi do rodziny krzywych y^2 =c\cdot x^3?
Góra
Kobieta
PostNapisane: 1 gru 2017, o 22:55 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 654
Lokalizacja: Wrocław
janusz47 napisał(a):
\frac{y}{y'} = \frac{2}{3}x (3)

- zastąpić w równaniu (3) y' przez -\frac{1}{y'}

Mogę prosić o wyjaśnienie, z czego to wynika?
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 1 gru 2017, o 23:18 
Użytkownik

Posty: 55
Lokalizacja: Polska
janusz47 napisał(a):

ydy +\frac{2}{3}x dx =0.

Jakie krzywe są trajektoriami ortogonalnymi do rodziny krzywych y^2 =c\cdot x^3?

Po scałkowaniu otrzymałem wynik:
c=\frac{y^2}{2}+\frac{x^2}{3}

To prawidłowa odpowiedź, czy może zapisać to w postaci:
y= \pm  \sqrt{\frac{2}{3}x+c}
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 2 gru 2017, o 00:25 
Użytkownik

Posty: 4787
Jeśli na płaszczyźnie Oxy dana jest jednoparametrowa rodzina \mathcal{L} krzywych określona równaniem

\mathcal{K}(x, y, c) =0 (1)

to krzywa \mathcal{L}_{1} przecinające wszystkie krzywe rodziny (1) po tym samym kątem \alpha nosi nazwę trajektorii izogonalnej tej rodziny.
Jeśli w szczególności \alpha = \frac{1}{2}\pi, to trajektorię izogonalną nazywamy trajektorią ortogonalną.

Niech M(x,y) będzie dowolnym punktem trajektorii izogonalnej \mathcal{L}_{1}

Oznaczmy kąty utworzone przez oś Ox ze styczną MTdo krzywej \mathcal{L} przechodzącą przez punkt M i ze styczną MT_{1} do trajektorii \mathcal{L}_{1} w punkcie M odpowiednio przez \phi , \phi_{1}. (proszę wykonać rysunek)

Wówczas przy przemieszczaniu się punktu M wzdłuż trajektorii spełniona jest równość

\phi_{1} = \phi +\alpha =const.

przy czym

\tg(\phi) = \frac{dy}{dx}, \ \ \tg(\phi_{1})= \frac{dy_{1}}{dx_{1}}.

Załóżmy, że

\alpha \neq \frac{1}{2}\pi. i oznaczmy \tg(\alpha) = k.

Mamy

\phi = \phi_{1} - \alpha.

A zatem

\tg(\phi) = \frac{\tg(\phi_{1}) - \tg(\alpha)}{1 - \tg(\alpha)\cdot \tg(\phi_{1})}.

czyli

\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy_{1}}{dx_{1}} - k}{1 + k\cdot \frac{dy_{1}}{dx_{1}}} (2)

Równość ta ustala związek między kierunkiem stycznej w dowolnym punkcie M trajektorii \mathcal{L}_{1}, a kierunkiem stycznej do krzywej \mathcal{L} rodziny (1) przechodzącej przez ten punkt.

Tworząc równanie różniczkowe rodziny (1), musimy wyeliminować (wyrugować - nie lubię tego słowa)
parametr c.

W tym celu zwykle eliminujemy ten parametr z układu równań:

\mathcal{K}(x, y c) =0, \ \ \mathcal{K'}_{|x} + \mathcal{K'}_{|y}\cdot \frac{dy}{dx}=0.

Otrzymujemy

\mathcal{K}\left( x, y, \frac{dy}{dx}\right) = \mathcal{K}\left(x_{1}, y_{1},\frac{\frac{dy_{1}}{dx_{1}} -k}{1 + k\cdot \frac{dy_{1}}{dx_{1}}}\right)=0 (3)

Równość (3) jest równaniem różniczkowym rodziny trajektorii izogonalnych.

Jeżeli \alpha =\frac{1}{2}\pi, to \tg \left(\phi_{1}-\frac{1}{2}\pi\right)= -\ctg(\phi_{1}) = -\frac{1}{\tg(\phi_{1})},

więc z (2) otrzymujemy

\frac{dy}{dx} = - \frac{1}{\frac{dy_{1}}{dx_{1}}},

a równanie różniczkowe rodziny trajektorii ortogonalnych ma postać:

\mathcal{K}\left(x_{1}, y_{1}, -\frac{1}{\frac{dy_{1}}{dx_{1}}}\right) = 0.
Góra
Kobieta
PostNapisane: 2 gru 2017, o 00:28 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 654
Lokalizacja: Wrocław
Dziękuję. Szkoda, że nie mogę kliknąć „pomógł”.
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 2 gru 2017, o 00:34 
Użytkownik

Posty: 4787
Dziękuję!
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 7 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 wyznaczyć trajektorie ortogonalne rodziny krzywych  adriansuper64  3
 Wyznaczyć równanie różniczkowe  patricia__  0
 równanie różniczkowe rodziny krzywych  ddawidd  1
 Wyznaczyć całkę ogólną równania różniczkowego - zadanie 3  Chomik19  2
 równianie różniczkowe którego rozw. jest rodzina krzywych  Ola964  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl