szukanie zaawansowane
 [ Posty: 7 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna
PostNapisane: 30 lis 2017, o 18:41 
Użytkownik

Posty: 55
Lokalizacja: Polska
Proszę o pomoc w rozwiązaniu równania Lagrange'a, nie mam pojęcia jak się za to zabrać.

x=t(x')^2+x'
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2019
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 30 lis 2017, o 19:19 
Moderator

Posty: 4438
Lokalizacja: Łódź
Najpierw zróżniczkujmy równanie stronami:

x'=(x')^2+2tx'x''+x''

Podstawiamy pomocniczą zmienną:
z=x'

i kontynuujemy:

z=z^2+2tzz'+z'
z'(2tz+1)=z-z^2

Przechodzimy teraz do równania zmiennej t:

2tz+1=t'(z-z^2)

Jest to równanie liniowe, nie powinieneś mieć kłopotu z jego rozwiązaniem.
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 30 lis 2017, o 21:21 
Użytkownik

Posty: 55
Lokalizacja: Polska
Cytuj:
Przechodzimy teraz do równania zmiennej t:

2tz+1=t'(z-z^2)
Mógłbyś wytłumaczyć mi to przejście?
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 30 lis 2017, o 21:41 
Moderator

Posty: 4438
Lokalizacja: Łódź
z'(2tz+1)=z-z^2 oznacza dokładnie tyle co \frac{\dd z}{\dd t}(2tz+1)=z-z^2. Mnożąc stronami przez \frac{\dd t}{\dd z} dostaniemy równanie liniowe względem t.
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 30 lis 2017, o 22:01 
Użytkownik

Posty: 55
Lokalizacja: Polska
Z moich obliczeń wynika, że:
t=(1-z)^{-2}\cdot (\frac{1}{1-z}-\ln(z-1)+\ln(z)+c)

Dobrze to policzyłem? Co dalej?
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 1 gru 2017, o 21:25 
Moderator

Posty: 4438
Lokalizacja: Łódź
Ja akurat otrzymałem takie rozwiązanie równania liniowego:

t=\frac{\ln z-z+C}{(1-z)^2}

Niemniej jest to ten przypadek, w którym dochodzimy jedynie do postaci uwikłanej i trudno odzyskać funkcję z(t), by potem jako rozwiązanie wyjściowego równania podać funkcję pierwotną funkcji z...
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 1 gru 2017, o 23:20 
Użytkownik

Posty: 55
Lokalizacja: Polska
A mógłby Pan przedstawić metodę, jaką uzyskał Pan ten wynik?
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 7 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Rownanie Lagrange'a  Karka  3
 Równanie Lagrange'a - zadanie 3  michaljst  0
 Równanie różniczkowe  Anonymous  6
 Równanie Hamiltona-Jacobiego  Pikaczu  0
 rownanie linii lancuchowej  bisz  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl