szukanie zaawansowane
 [ Posty: 8 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna
PostNapisane: 29 lis 2017, o 13:07 
Użytkownik

Posty: 20
Lokalizacja: Warszawa
\left( xy^{2} + y \right)  \mbox{d}x + \left( 2y-x\right)  \mbox{d}y=0

Może ma kto jaki pomysł?
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2019
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 29 lis 2017, o 14:20 
Użytkownik

Posty: 4787
Jest to równanie różniczkowe zupełne, którego lewa strona jest różniczką zupełną pewnej funkcji U(x,y).

M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0,

\frac{\partial M(x,y)}{ \partial x}= \frac{\partial N(x,y)}{\partial y} = y^2.

I sposób

Otwórz nawiasy, pogrupuj wyrazy tak, aby każda grupa przedstawiała różniczkę zupełną.
Zastąp różniczkę sumy przez sumę różniczek.

II sposób

Skonstruuj całkę ogólną.
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 29 lis 2017, o 14:28 
Moderator

Posty: 4211
Lokalizacja: Kraków PL
    \pfrac{M(x,y)}{y}=2xy+1\neq-1=\pfrac{N(x,y)}{y}
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 29 lis 2017, o 14:40 
Użytkownik

Posty: 450
Lokalizacja: Kraków
Mamy:

P=xy^2+y ; Q = 2y-x
\frac{ \partial P}{ \partial y }=2xy+1 ; \frac{ \partial Q}{ \partial x}=-1
\frac{P_y-Q_x}{P}= \frac{2}{y} nie zależy od x
Czynnik całkujący:
\left( y \right) =e^{  \int \frac{-2}{y}{dy}}= \frac{1}{y^2}

Po wymnożeniu dostajesz równanie zupełne:
\left( x+ \frac{1}{y} \right)  \mbox{d}x + \left(  \frac{2}{y} - \frac{x}{y^2} \right) { \mbox{d}y =0
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 29 lis 2017, o 14:51 
Moderator

Posty: 4211
Lokalizacja: Kraków PL
Bez minusa:

    \frac{P_y-Q_x}{P}=\frac{2}{y}
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 29 lis 2017, o 14:55 
Użytkownik

Posty: 450
Lokalizacja: Kraków
SlotaWoj napisał(a):
Bez minusa:

    \frac{P_y-Q_x}{P}=\frac{2}{y}


Racja. Dziękuję.

-- 29 lis 2017, o 14:33 --

janusz47 napisał(a):
Jest to równanie różniczkowe zupełne, którego lewa strona jest różniczką zupełną pewnej funkcji U(x,y).



To nie jest równanie zupełne.
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 30 lis 2017, o 04:16 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 6685
Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
\left( xy^{2} + y \right)  \mbox{d}x + \left( 2y-x\right)  \mbox{d}y=0\\
\left( xy^{2} + y \right) +\left( 2y-x\right)\frac{ \mbox{d}y}{ \mbox{d}x }=0\\
\frac{ \mbox{d}y}{ \mbox{d}x }\left( x-2y\right) =\left( xy^{2} + y \right)\\
\frac{ \mbox{d}y}{ \mbox{d}x }=\frac{xy^{2} + y}{x-2y}\\
y=ux\\
y'=u'x+u\\
u'x+u=\frac{u^2x^3+ux}{x-2ux}\\
u'x=\frac{u^2x^2+u}{1-2u}-u\\
u'x=\frac{u^2x^2+u-u+2u^2}{1-2u}\\
u'x=\frac{u^2x^2+2u^2}{1-2u}\\
u'x=\frac{\left( x^2+2\right)u^2 }{1-2u}\\
\frac{1-2u}{u^2}u'=\frac{x^2+2}{x}\\
\frac{1-2u}{u^2} \mbox{d}u=\frac{x^2+2}{x}  \mbox{d}x \\
-\frac{1}{u}-2\ln{\left| u\right| }=\frac{x^2}{2}+2\ln{\left| x\right| }-\frac{C}{2}\\
-\frac{2}{u}-4\ln{\left| u\right| }=x^2+4\ln{\left| x\right| }-C\\
-\frac{2x}{ux}-4\ln{\left| ux\right| }-x^2=-C\\
\frac{2x}{y}+4\ln{\left| y\right| }+x^2=C\\

Podstawienie dla równania jednorodnego powinno tutaj działać
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 30 lis 2017, o 10:06 
Użytkownik

Posty: 4787
Metoda funkcji całkującej formy różniczkowej

Rozpatrujemy jednoformę różniczkową (różniczkę funkcji):

d \omega(x,y) = (xy^2 +y) dx + (2y -x)dy (0)

Aby Forma (0) była formą dokładną, potrzeba i wystarcza, aby zachodziła równość:

[(xy^2 +y)\cdot i(x,y)]_{|y} = [(2y - x)\cdot i(x,y)]_{|x},

dla pewnej rzeczywistej funkcji i(x,y),  \ \ x, y \in R \setminus \{(0,0)\}.

Stąd

(2xy +1)\cdot i(x,y) + (xy^2 +y)\cdot i(x,y)_{|y} = -i(x,y) + (2y - x)\cdot i(x,y)_{|x}.

(2xy +2)\cdot i(x,y) +(xy^2 +y)\cdot i(x,y)_{|y} = (2y - x)\cdot i(x,y)_{|x} (1)

Z (1) oraz warunku koniecznego i wystarczającego istnienia funkcji i wynika, że

2y - x = 0, \ \ x =2y (2)

Kładąc (2) do (1)

(4y^2 +2)\cdot i(x,y) +(2y^3 +y) \cdot i(x,y)_{|y} = 0.

\frac{i(x,y)_{|y}}{i(x,y)} = - \frac{4y^2 +2}{2y^3 +y}= - \frac{2(2y^2+1)}{y(2y^2+1)}= \frac{-2}{y}.

Otrzymaliśmy równanie o zmiennych rozdzielających się, którego rozwiązaniem jest funkcja:

i(x,y) =\overline{i}(y) = \frac{A}{y^2}.

Stałą A położymy równą 1, gdyż nie szukamy najbardziej ogólnej postaci funkcji i. Wystarczy nam wskazać jedną konkretną jej postać.

Po pomnożeniu formy (0) przez czynnik \frac{1}{y^2} otrzymujemy jednoformę dokładną

d\omega^{*}(x,y) = \left( x + \frac{1}{y}\right)dx + \left(\frac{2}{y} - \frac{x}{y^2}\right) (3)

\overline{M}(x,y)_{|y} = -\frac{1}{y^2} = \overline{N}(x,y)_{|x}.

Znajdujemy pierwotną formy (3)

\omega^{*}(x,y) = \int \left(x+\frac{1}{y}\right)dx = \frac{x^2}{2}+\frac{x}{y}+ \phi(y).

\omega^{*}_{|y}(x.y) = -\frac{x}{y^2}+ \phi'(y)= \frac{2}{y}-\frac{x}{y^2}

\phi'(y) = \frac{2}{y}

\phi(y) = 2\ln(y) + C

\omega^{*}(x, y) = \frac{x^2}{2}+\frac{x}{y} + 2\ln(y) + C.

Rozwiązanie równania ma więc postać uwiklaną:

\frac{x^2}{2}+\frac{x}{y} + 2\ln(y) = const.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 8 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Równanie różniczkowe  Anonymous  6
 Równanie Hamiltona-Jacobiego  Pikaczu  0
 rownanie linii lancuchowej  bisz  1
 Równanie różniczkowe - zadanie 10  niebieski  0
 równanie różniczkowe Clairauta - zadanie 2  qaz  4
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl